回顾这一困境
先验地说，我们希望为
的任意子集定义测度。 我们发现，如果允许选择公理，同时要求测度具有可数可加性（正如我们所做的那样），就会遇到麻烦：不存在一种有效的、平移不变的方法，可以给
的所有子集赋予有限测度。 我们可以抛弃选择公理……但我们并不想这样做。我们转而只为某些“可测集”定义测度。我们将构造一个由可测集组成的
-代数，并让概率测度成为从这个 -代数到 的函数。 这一决定的代价是：此后每当谈论任意空间上的测度——例如欧氏空间、可微函数空间、嵌入平面中的分形曲线空间等——我们都必须考虑相应的
-代数究竟是什么。
回顾这一困境
另一方面，我们始终必须保证：所构造的任何测度都为每一个可测集赋予一个实际数值。
-代数越大，需要定义测度的集合就越多。因此，如果我们希望测度容易构造，那么让 -代数中的元素不要太多，也许反而是件好事……除非还有更容易的办法…… 再想一想，我们究竟该怎样定义一个测度？
如果这个
-代数类似 Borel -代数（即包含所有开集的最小 -代数），它就是一个相当庞大的集合族。我们怎样才能构造一个测度——任意测度——使它在这个集合族中的每个集合上都有定义？ 答案：使用扩张定理。
回顾定义
概率空间是三元组
，其中 是样本空间， 是事件的集合（即 -代数），而 是概率函数。
-代数是一个对子集取补及可数并运算封闭的子集族。称 为测度空间。 测度是函数
它对所有
满足 并具有可数可加性：对两两不交的
， 如果
，则测度 是概率测度。 拓扑空间上的 Borel
-代数 是包含所有开集的最小 -代数。
怎样在
记
定理： 对每一个右连续、单调不减，并且在
处趋于 0、在 处趋于 1 的函数 ，都存在唯一一个定义在 的 Borel 集上的测度，使得 如果给定这样一个函数
，我们便知道如何计算任意形如 的集合的测度。 我们希望把定义在这些子集上的测度，扩张为一个定义在由这些子集生成的整个
-代数上的测度。 对形如
的两两不交区间的可数并，如何定义其测度似乎很清楚（只需使用可数可加性）。但我们有把握以一致的方式将该定义扩张到所有 Borel 可测集吗？
提纲
- 扩张定理
上的分布 - 扩张定理
代数与半代数
代数： 对有限并和取补运算封闭的集合族
。 代数上的测度： 对所有
，有 并且对于两两不交且其并属于
的 ，有 即满足可数可加性。
上的测度 称为 -有限的，如果存在可数个 ，使得 半代数： 对交运算封闭的集合族
，并且 蕴含 是 中有限个集合的两两不交并。（例：空集，加上形如 的集合。）
一个引理：如果
是半代数，那么由 中集合的有限两两不交并组成的集合族 是一个代数，称为由 生成的代数。
若集合族
对交运算封闭，则称 为 -系统。 若集合族
满足下列条件，则称 为 -系统： ； - 如果
且 ，那么 ； - 如果
且 ，那么 。
定理： 如果
是一个 -系统，而 是一个包含 的 -系统，那么 其中
表示包含 的最小 -代数。
Carathéodory 扩张定理
定理： 如果
是代数 上的一个 -有限测度，那么 可以唯一地扩张到由 生成的 -代数上。 详细证明稍显复杂，不过让我们来看一下。
我们可以使用这个扩张定理，证明在
的 Borel 集上存在唯一的平移不变测度（Lebesgue 测度），它给单位立方体赋予单位质量。（Borel -代数 是包含 中所有开集的最小 -代数。给定任意带有拓扑的空间，我们都可以用这种方式定义一个 -代数。）
