03-随机变量与分布

回顾定义

• 概率空间是三元组 ，其中 是样本空间， 是事件的集合（即 -代数），而

  是概率函数。

• -代数是一个对子集取补及可数并运算封闭的子集族。称 为测度空间。

• 测度是函数

  它对所有 满足

  并具有可数可加性：对两两不交的 ，

• 如果 ，则测度 是概率测度。

• 拓扑空间上的 Borel -代数 是包含所有开集的最小 -代数。

回顾 -代数的来龙去脉

• 先验地说，我们希望为 的任意子集定义测度。

• 我们发现，如果允许选择公理，同时要求测度具有可数可加性（正如我们所做的那样），就会遇到麻烦：不存在一种有效的、平移不变的方法，可以给 的所有子集赋予有限测度。

• 我们可以抛弃选择公理……但我们并不想这样做。我们转而只为某些“可测集”定义测度。我们构造一个由可测集组成的 -代数，并让概率测度成为从这个 -代数到 的函数。

• Borel -代数由开集生成。有时还会考虑通过加入零测集形成的“完备化”。

• Carathéodory 扩张定理告诉我们：若想在一个 -代数上构造测度，只需先在生成它的代数上构造测度。

回顾 上测度的构造

• 记

• 定理： 对每一个右连续、单调不减，并且在 处趋于 0、在 处趋于 1 的函数 ，都存在唯一一个定义在 的 Borel 集上的测度，使得

• 该结果使用 Carathéodory 扩张定理证明。

刻画 上的概率测度

• 我们希望有

• 给定这样的 ，通过在矩形各顶点处计算 并取差，可以算出任意形如

  的有限矩形的测度 。

• 定理： 给定 ，存在唯一的测度，其在有限矩形上的取值由上述方法确定；这里要求 单调不减、右连续，并且给每个矩形赋予非负值。

• 该结果同样使用 Carathéodory 扩张定理证明。

提纲

• 刻画 上的测度
• 随机变量

定义随机变量

• 随机变量是从 到 的可测函数。也就是说，它是一个函数

  并且 中每个集合的原像都属于 。称 是 -可测的。

• 问题：为了证明 可测，只证明每个开集的原像都属于 ，是否足够？

• 定理： 如果对所有 都有

  并且 生成 ，那么 是从 到 的可测映射。

• 随机变量的例子：某个集合的示性函数；或者有限多个集合的示性函数之和。

• 令

  为 的分布函数。用

  表示 的密度函数。

• 哪些函数可以作为随机变量的分布函数？

• 它们应当单调不减、右连续，并满足
  

随机变量可能具有的分布律示例

• 分布函数的其他例子： 上的均匀分布、参数为 的指数分布、标准正态分布、Cantor 集测度。

• 也可以为几乎必然取整数值的随机变量定义分布函数，例如 Poisson、几何或二项随机变量。两个独立 Poisson 随机变量之比又如何？（这是一个取有理数值、支撑集在 中稠密的随机变量。）

• 高维密度函数的定义与此类似。