04-积分

回顾定义

• 概率空间是三元组 ，其中 是样本空间， 是事件集（即 -代数），而

  是概率函数。

• -代数是一个对子集取补及可数并运算封闭的子集族。称 为测度空间。

• 测度是函数

  它对所有 满足

  并满足可数可加性：若 两两不交，则

• 如果 ，测度 就是概率测度。

• 拓扑空间上的 Borel -代数 ，是包含所有开集的最小 -代数。

回顾定义

• 实随机变量是函数

  它满足每个 Borel 集的原像都属于 。

• 注意：要证明 可测，只需证明每个开集的原像都属于 。

• 可以讨论由一个或多个随机变量生成的 -代数：它是使这个随机变量（或这组随机变量）可测的最小 -代数。

Lebesgue 积分

• Lebesgue 的思想：只要能够测量，就能够积分。

• 更具体地说：若 是一个测度空间， 是满足

  的测度，而 是 -可测函数，那么可以定义

  对非负的 可以这样定义；如果 和 的积分都有限，也可以这样定义。

• 思路是在以下四种情形中依次定义积分，并验证线性和正性（几乎处处非负的函数具有非负积分）：

  1. 只取有限多个值。

  2. 有界。提示：把 向下或向上舍入到最接近的 的整数倍，再令 ，从而化归到前一种情形。

  3. 非负。提示：取 ，再令 ，从而化归到前一种情形。

  4. 是任意可测函数。提示：分别处理正部和负部；当二者积分都有限时，它们的差有意义。

Lebesgue 积分

• 能否把前面的讨论推广到

  的情形？

• 定理： 若 可积，则：

  • 若 几乎处处成立，则

  • 对 ，

  • 若 几乎处处成立，则

  • 若 几乎处处成立，则

  • 有

• 当

  时，记

  $$
  \int_Ef(x),dx

  \int\mathbf1_Ef,d\lambda.
  $$

提纲

• 积分
• 期望