05-积分与期望（续）

回顾 Lebesgue 积分

• Lebesgue 的思想：只要能够测量，就能够积分。

• 更具体地说：若 是测度空间， 是满足

  的测度，而 是 -可测函数，那么可以定义

  对非负的 可以这样定义；如果 和 的积分都有限，也可以这样定义。

• 思路是在以下四种情形中依次定义积分，并验证线性和正性：

  1. 只取有限多个值。

  2. 有界。提示：把 向下或向上舍入到最接近的 的整数倍，再令 ，从而化归到前一种情形。

  3. 非负。提示：取 ，再令 ，从而化归到前一种情形。

  4. 是任意可测函数。提示：分别处理正部和负部；当二者积分都有限时，它们的差有意义。

Lebesgue 积分

定理： 若 可积，则：

• 若 几乎处处成立，则

• 对 ，

• 若 几乎处处成立，则

• 若 几乎处处成立，则

• 有

• 当

  时，记

  $$
  \int_Ef(x),dx

  \int\mathbf1_Ef,d\lambda.
  $$

提纲

• 积分
• 期望

期望

• 给定概率空间 和随机变量 ，记

  当 时，期望总有定义；如果

  的积分分别有限，期望也有定义。

• 称为 的第 阶矩。另外，若

  则

  称为 的方差。

期望与积分的性质

• Jensen 不等式： 若 是概率测度，且凸函数

  则

  若 是随机变量，则

• 证明的主要思路： 用一个在 处与 相等的线性函数 ，从下方逼近 。

• 应用： 效用函数、对冲基金的收益函数。

• Hölder 不等式： 对 ，记

  若

  则

• 证明的主要思路： 通过缩放，假定

  利用基础微积分验证：对任意正数 ，

  令 、 并积分，便得到

• Cauchy—Schwarz 不等式： 这是 的特殊情形：

  它表示两个向量的点积至多等于二者长度的乘积。

有界收敛定理

有界收敛定理： 设 是概率测度。假定对每个 ，都有

其中 固定；并假定 依概率收敛到 ，也就是说，对所有 ，

那么

（能否利用又宽又矮的矩形，在无限测度空间中构造反例？）

证明的主要思路： 对任意 ，可以取充分大的 ，使得

Fatou 引理

Fatou 引理： 若 ，则

（能否利用又窄又高的矩形，构造反方向不等式的反例？）

证明的主要思路： 先令

并注意

从而把问题化归为 单调递增的情形。然后作截断，使用有界收敛定理，再取极限。

更多积分性质

• 单调收敛： 若 ，且 ，则

• 证明的主要思路： 一个方向显然，另一个方向由 Fatou 引理给出。

• 控制收敛： 若 几乎处处成立，对所有 都有

  且 可积，则

• 证明的主要思路： 对非负函数 应用 Fatou 引理，得到一个方向；再对非负函数 应用 Fatou 引理，得到另一个方向。