条件期望
假设给定概率空间
以及一个
-域 。又设随机变量 关于 可测，并且 在给定
的条件下， 的条件期望是一个新的随机变量，可记为 我们要求
关于 可测，并且对每一个 ，都有 任何满足这些性质的
，都称为 的一个版本。 是否可能存在不止一个版本？如果可能，这就意味着条件期望在某种意义上并没有被典范地定义。 是否可以在某种意义下说，
总是存在并且总是唯一确定的——或许允许在一个零测集上有所不同？
条件期望
断言： 在上述条件下，设
则
特别地，
可积。 证明： 令
注意到
用同样的论证可得
的唯一性： 假设 关于 可测，并且对所有 都满足 考虑集合
在这个集合上积分所得结果为零。对任意
都必须如此，因此
Radon—Nikodym 定理
设
和 是 上的 -有限测度。如果 就记作
或称
关于 绝对连续。 回顾 Radon—Nikodym 定理： 若
和 是 上的 -有限测度，并且 关于 绝对连续，那么存在可测函数 使得
注意：这个定理蕴含条件期望的存在性。
两个重要结果
可选停止定理： 如果某种资产的价格是非负鞅，那么靠选择出售时机，无法在期望意义下赚到钱。
鞅收敛： 非负鞅几乎必然存在极限。
Wald
Wald 等式： 设
独立同分布，且 如果
是满足 的停时，那么 Wald 第二等式： 设
独立同分布，并且 如果
是满足 的停时，那么
Wald 等式在简单随机游走中的应用
设
在每一个时刻，
都根据一次公平抛硬币的结果，独立地改变 。固定 ，并令 是多少？ 是多少？
提纲
- 条件期望
- 鞅
- 反正弦律及其他简单随机游走故事
反射原理
从
走到 ，并且不穿过水平轴的游走一共有多少条？ 试着计算穿过水平轴的游走数：构造一个双射，把它们映射为从
走到 的游走。
投票定理
假设在一次选举中，候选人
得到 张选票，而候选人 得到 张选票。在整个计票过程中， 始终领先的概率是多少？ 答案是
这可以用反射原理证明。
反正弦定理
关于最后到达时刻的定理。
关于处于正半轴的时间总量的定理。
