回顾：条件期望
假设给定概率空间
以及一个
-域 。设随机变量 关于 可测，并且 在给定
的条件下， 的条件期望是一个新的随机变量，可记为 我们要求
关于 可测，并且对每个 ，都有 满足这些性质的任意
，都称为 的一个版本。 定理： 在允许于零测集上重新定义的意义下，随机变量
存在且唯一。
这个结论由拉东–尼科迪姆（Radon–Nikodym）定理推出。
关于条件期望的若干观察
线性性：
若
、 ，并且 ，则 若
，则 以及
第二个等式颇有意思：它说的是，在我获知
之后，我对“获知 后自己将会怎样最好地估计 ”所作的最佳估计，恰好就是我现在对 的最佳估计。 由此推出：若
是递增的 -代数序列，并且 则
构成一个鞅。
正则条件概率
考虑概率空间
、可测映射 以及作为
的子 -域的 。若映射 满足下列条件，就称
是给定 时 的一个正则条件分布： 对每个
，映射 是
的一个版本。 对几乎每个
，映射 是
上的概率测度。
定理： 如果
足够“良好”，那么正则条件概率存在。
鞅
设
是递增的 -域序列，称为一个滤过。 若
是一个适应序列，并且 那么，当对所有
都有 时，称
是一个鞅。 如果把上式中的等号替换为
，就称 是上鞅；相应地，如果替换为 ，就称 是下鞅。
关于鞅的若干观察
断言： 若
是上鞅，则对 ，有 证明思路： 当
时，结论直接来自定义；令 ，再对 使用归纳法。 下鞅有类似的结论。此外，若
是鞅且 ，则 断言： 若
是关于 的鞅， 是凸函数，并且 则
是下鞅。 证明思路： 由詹森（Jensen）不等式和鞅的定义立即可得。
例： 取
可预测序列
若每个
都关于 可测，就称 是可预测的。 可以把
理解为投资者在第 个阶段持有的某项资产的份额数量。 记
观察： 若
是上鞅，并且 且有界，那么 是上鞅。 例： 对停时
，取
两个重要结果
可选停止定理： 如果某项资产的价格是非负鞅，那么无法通过选择卖出时机来提高期望收益。
证明： 这只是关于
的陈述的一个特例。 鞅收敛： 非负鞅几乎必然存在极限。
证明思路： 统计上穿次数，即鞅穿过某个固定区间的次数；然后设计一种赌博策略，使得当上穿次数不是几乎必然有限时，该策略能够赚取大量金钱。
问题
有多少位初选候选人的预期获胜概率曾经超过百分之二十？（由奥尔德斯（Aldous）提出。）
计算条件概率在达到
之前先达到 的概率。
瓦尔德（Wald）
瓦尔德等式： 设
相互独立且同分布，并且 若
是停时且 ，则
瓦尔德等式在简单随机游走中的应用
设
并且在每个时间步，
按照一次公平抛硬币的结果，彼此独立地变化 或 。固定 ，并令 是多少？ 是多少？
提纲
条件期望
正则条件概率
鞅
反正弦定律及简单随机游走的其他故事
反射原理
从
到 且不穿过水平轴的游走共有多少条？ 可以尝试计算那些确实穿过水平轴的游走数目：把它们与从
到 的游走建立双射。
投票定理
假设在一次选举中，候选人
得到 张选票，候选人 得到 张选票。在整个计票过程中， 始终领先的概率是多少？ 答案：
可以使用反射原理证明。
反正弦定理
关于最后一次到达时刻的定理。
关于处于正值的时间总量的定理。
