回顾：条件期望
假设给定概率空间
、 -域 ，以及一个关于 可测、满足 的随机变量
。给定 时 的条件期望是一个新的随机变量，可以记作 我们要求
关于 可测，并且对所有 ，都有 满足这些性质的任何
，都称为 的一个版本。 定理： 除了可以在一个零测集上重新定义之外，随机变量
存在且唯一。 该结论由 Radon–Nikodym 定理推出。
关于条件期望的观察
线性：
如果
，那么 如果
、 ，并且 ，那么 （由支配收敛定理）。
如果
，那么 并且
第二个等式颇有意思：它表示，在我获知
之后，我对“获知 之后自己将怎样最好地猜测 ”的最佳猜测，恰好就是我当前对 的最佳猜测。 由此推出：如果
是递增的 -代数序列，并且 那么
是一个鞅。
鞅
设
是一个递增的 -域序列，这称为一个滤过。 如果对所有
， 都关于 可测，就称序列 适应于 。如果 是适应序列，并且 那么，当对所有
都有 时，称它为一个鞅。
如果把上述等号换成
，就称它为上鞅；如果换成 ，就称它为下鞅。
关于鞅的观察
断言： 如果
是上鞅，那么当 时， 证明思路： 当
时，这由定义直接得到；再令 ，对 使用归纳法。 下鞅也有类似结论。此外，如果
是鞅且 ，那么 断言： 如果
是关于 的鞅， 是凸函数，并且 那么
是一个下鞅。 证明思路： 由 Jensen 不等式和鞅的定义立刻得到。
例： 取
可预测序列
如果每个
都关于 可测，就称 是可预测的。 或许表示投资者在第 个阶段持有某种资产的份额数。 记
观察： 如果
是上鞅，并且 且有界，那么 是上鞅。 例： 对停止时
，取
两个重要结果
可选停止定理： 如果一种资产的价格是非负鞅，那么无法通过选择卖出资产的时机来增加期望收益。
证明： 当停止时有界时，这只是关于
的陈述的一个特例。 鞅收敛： 非负鞅几乎必然有极限。
证明思路： 计算上穿次数，也就是鞅穿过某个固定区间的次数；如果这些次数不是几乎必然有限，就设计一种能够赚取很多钱的赌博策略。基本做法是：每次价格降到区间下方时买入，每次价格升到区间上方时卖出。
更强的收敛陈述： 如果
是下鞅，并且 那么当
时， 几乎必然收敛到某个极限 ，而且
其他陈述
如果
是上鞅，那么当 时， 证明：
是一个满足
的下鞅。由于 ，该不等式由 Fatou 引理推出。 Doob 分解： 任何下鞅
都可以唯一地写成 其中
是鞅， 是满足 的可预测递增序列。 证明思路： 只需令
为各次“意外”的总和；这里的“意外”是 一个增量几乎必然有界的鞅，要么收敛到某个极限，要么在
之间振荡。也就是说，几乎必然有以下二者之一成立：存在满足 的极限；或者
问题
预计会有多少名初选候选人在 Intrade 上的概率报价曾经超过 20%？（Aldous 提出的问题。）
如果鞅价格连续变化，计算它在达到
之前先达到 的概率。 Pólya 坛子： 坛中有
个红球和 个绿球。反复随机抽取一个球，并额外加入一个与所抽球颜色相同的球。红球数与绿球数之比是鞅，因此几乎必然收敛到某个极限。
Wald
Wald 等式： 设
独立同分布，并且 如果
是满足 的停止时，那么 Wald 第二等式： 设
独立同分布，并且 如果
是满足 的停止时，那么
Wald 等式在简单随机游走中的应用
设
。在每个时步， 都按照一次公平抛硬币的结果，独立地增加或减少 1。固定 ，并令 是多少？ 是多少？
提纲
- 条件期望
- 鞅
- 反正弦律及简单随机游走的其他故事
反射原理
从
到 、且不穿过水平轴的游走路径有多少条？ 可以尝试先数那些确实穿过水平轴的游走路径：把它们与从
到 的游走路径建立双射。
投票定理
假设在一次选举中，候选人
获得 票，候选人 获得 票。在整个计票过程中， 始终领先的概率是多少？ 答案：
可以利用反射原理证明。
反正弦定理
关于最后一次到达时刻的定理。
关于处于正值状态的时间总量的定理。
