回顾：条件期望
假设给定概率空间
以及一个
-域 。又设随机变量 关于 可测，并且 在给定
的条件下， 的条件期望是一个新的随机变量，可记为 我们要求
关于 可测，并且对每一个 ，都有 任何满足这些性质的
，都称为 的一个版本。 定理： 除了允许在一个零测集上重新定义以外，随机变量
存在且唯一。 这由 Radon—Nikodym 定理推出。
定理： 如果
是递增的 -代数序列，并且 那么
是一个鞅。
鞅
设
是递增的 -域序列，称为一个滤过。 如果对所有
都有 就称序列
适应于 。如果 是适应序列，并且 而且对所有
都满足 就称它为鞅。
如果把上式中的等号换成
，就称它为上鞅；如果换成 ，就称它为下鞅。
两个重要结果
可选停止定理： 如果某种资产的价格是非负鞅，那么靠选择出售时机，无法在期望意义下赚到钱。
证明： 当停时有界时，这只是关于
的陈述的一个特例。 鞅收敛： 非负鞅几乎必然存在极限。
证明思路： 计算上穿次数，也就是鞅穿过某个固定区间的次数；然后设计一种赌博策略，使得一旦这些上穿次数并非几乎必然有限，就能赚到很多钱。基本做法是：每当价格跌到区间下方时买入，每当价格升到区间上方时卖出。
问题
假设 Intrade 上的价格过程都是连续鞅。（忽略买卖价差、可能存在的冷门选项偏差、本年度离奇的套利机会、信息突然大量涌入所造成的不连续性等。）
在 Intrade 的党内初选提名市场中，预期一共有多少名初选候选人的价格曾经超过
？（由 Aldous 提出。） 如果鞅价格连续变化，计算它在到达
之前先到达 的概率。 Pólya 罐模型： 罐中有
个红球和 个绿球。反复随机抽取一个球，并额外加入一个与抽中球颜色相同的球。红球与绿球之比是一个鞅，因此几乎必然收敛到某个极限。
提纲
- 回顾
- 更多鞅定理
定理： 设
是鞅，并且对某个 有 那么
几乎必然成立，并且也在
中成立。 证明思路： 有
由鞅收敛定理，
几乎必然成立。再利用 极大不等式得到 收敛。
鞅增量的正交性
定理： 设
是鞅，并且对所有 都有 如果
、 ，且 ，那么 证明思路：
条件方差定理： 如果
是鞅，并且对所有 都有 ，那么
平方可积鞅
假设
是一个鞅，并且对所有 都有 已知
是下鞅。根据 Doob 分解，可以写成 其中
是鞅，并且 在某种意义上，
衡量了截至时刻 所累积的总方差。 定理：
证明思路：
极大不等式给出 再使用单调收敛定理。
平方可积鞅
假设
是一个鞅，并且对所有 都有 定理： 在事件
上，极限
几乎必然存在且为有限值。
证明思路： 尝试固定
，并在时刻 进行截断，再使用
收敛定理。
一致可积性
称随机变量族
（ ）一致可积，如果 例： 给定
以及 ，则 构成一个一致可积族，其中
遍历所有包含于 的 -代数。 定理： 如果
依概率收敛到 ，那么下列条件等价： 一致可积； 在 中成立；
下鞅收敛
对于一个下鞅，下列条件等价：
- 它一致可积；
- 它几乎必然收敛，并且在
中收敛； - 它在
中收敛。
反向鞅
假设当
时 并且随着
增大， 递增。 定理： 极限
几乎必然存在，并且在
中存在。 证明思路： 使用上穿不等式，证明对任意区间，其上穿次数的期望都是有限的。由于
所以
一致可积，进而可以推出 收敛。
一般形式的可选停止定理
设
是一致可积的下鞅。 定理： 对任意停时
， 一致可积。
定理： 如果
并且
一致可积，那么
一致可积。 定理： 对任意停时
，都有 其中
可选停止定理的一个相当一般的形式： 如果
是停时，并且 是一致可积的下鞅，那么 且
