鞅
设
是一列递增的 -域（称为一个滤过）。 若对所有
都有 关于 可测，则称序列 适应于 。若 是适应序列，且 ，并满足 对所有
都成立，则称它为鞅。若把等号换成 （相应地换成 ），则称为上鞅（相应地称为下鞅）。 定理： 若
是一列递增的 -代数，且 ，则 是一个鞅。
可选停止定理： 在某些条件下（是什么条件？），鞅在停时处的期望就是鞅的初始值。
鞅收敛： 非负鞅几乎必然存在极限。在某些条件下（是什么条件？），极限的期望等于鞅的初始值。
问题
经典脑筋急转弯：一副 52 张的扑克牌（一半红色、一半黑色）洗匀后背面朝上。我每次翻开一张。在某个时刻（最后一张牌翻开之前），你喊“停”。如果下一张牌是红色，你将得到 1 美元。你应当如何选择喊停的时机，才能使获胜概率最大？
一个经典观察：设翻开
张牌后，尚未翻开的牌中红牌所占比例为 ，那么 是一个鞅。 可选停止定理意味着，你何时喊停并不重要。所有策略都有相同的期望收益。
猴子和天才的获胜概率相同。
除非你作弊。
经典问题：股票市场也是这样吗？
作为实时主观概率更新的鞅
伊万看到女朋友发来一封邮件，主题是“有个可能比较严肃的消息”。他认为，在读完邮件时她通过邮件和他分手的概率是
。每读一行，他都会修正这个数字： - “哦，伊万，我太想你了！”——
- “但有件事我必须告诉你。”——
- “请不要误解这件事。”——
- “我最近常和一个叫罗伯特的男人待在一起，”——
- “他是我们项目的一位外聘数据库顾问，”——
- “似乎对我的工作印象非常好，”——
- “还想让我加入他在帕洛阿尔托创办的初创公司。”——
- “我说，无论如何我都必须先和你谈谈，”——
- “你是我生命中的第一优先。”——
- “但我在好多方面都实在太困惑了。”——
- “请给我打电话！我太爱你了！爱丽丝。”——
- “哦，伊万，我太想你了！”——
连续鞅
卡珊德拉是一个理性的人。她实时更新主观概率估计的速度非常快，以至于这些估计可以看作连续鞅。
她以一种精确的含义使用“我认为
”这句话：它表示 卡珊德拉认为，她今天会赢得网球比赛。
然而，她认为自己会在某个时刻认为自己不会赢。她并不认为，自己会在某个时刻认为“自己不会在之后的某个时刻认为自己会赢”。
卡珊德拉获胜的概率是多少？（请给出所有可能值的完整范围。）
若干定理
收敛定理： 若 是鞅，且对某个 有 则
几乎必然成立，并且在 中成立。 正交增量定理： 设
是鞅，且对所有 都有 。若 ，且 、 ，则 条件方差定理： 若
是鞅，且对所有 都有 ，则 “累积方差”定理： 考虑一个对所有
都满足 的鞅 。由 Doob 分解，可以写成 其中
是鞅，并且 于是
此外，在事件
上， 几乎必然存在且为有限值。
一致可积性
若
（ ）满足 则称它们是一致可积的。
例： 给定
和 ，则 构成一个一致可积族；这里
遍历 中包含的所有 -代数。 定理： 若
依概率收敛，则下列条件等价： 一致可积； 在 中成立； 。
证明思路： 它们本质上都在控制“接近无穷大的取值对期望的贡献”。
下鞅收敛
下鞅收敛定理： 对一个下鞅而言，下列条件等价：
- 它是一致可积的；
- 它几乎必然收敛，并且在
中收敛； - 它在
中收敛。
证明思路： 第一项推出第二项：一致可积性意味着
鞅收敛定理进而给出
几乎必然成立，而前面的结果又给出 依概率成立。第二项推出第三项、第三项推出第一项都更容易看出。
译注：本页原文在这段证明思路中写作“martingale convergence（鞅收敛）”；此处按原文含义保留。
鞅收敛
鞅收敛定理： 对一个鞅而言，下列条件等价：
它是一致可积的；
它几乎必然收敛，并且在
中收敛； 它在
中收敛； 存在可积随机变量
，使得
换言之，每个一致可积鞅都可以解释成一个“根据最新信息不断修正期望”的序列。
反向鞅
假设在
时 并且
随 增大而递增。 这有点像在给定越来越少的信息的情况下取条件期望（当
时）。 定理：
几乎必然存在，并且在
中存在。 证明思路： 使用上穿不等式说明，对任意区间，上穿次数的期望都是有限的。由于
所以
一致可积，由此可以推出它在 中收敛。
一般的可选停止定理
设
是一个一致可积的下鞅。 定理： 对任意停时
， 一致可积。 定理： 若
，且 一致可积，则 一致可积。 定理： 对任意满足
的停时 ，有 可选停止定理的一个相当一般的形式： 若
是停时，且 是一致可积的下鞅，则
