动机问题
考虑
上参数固定为 的独立边渗流。先看一些模拟。 令
为从 的边集到 的所有映射组成的集合， 为通常的乘积 -代数，而 为相应的概率测度。
考虑一个以原点为中心的
方框。方框中有多大比例的点属于某个无穷簇？当 时，这个比例是否以某种意义——依概率，或甚至几乎必然——收敛到一个极限？ 令
如果
彼此独立，这就只是一个大数定律问题。但 并不彼此独立，远非如此。 我们没有独立性，但有平移不变性。这是否已经足够？
更一般地，设
按某种平移不变的方式分布，且 在大方框中，
的平均值是否近似为常数？
重新表述问题
令
为把 移到 的 平移。每个 都在 上诱导一个保测平移。于是 因此，对一系列
把 的值相加，等价于把 的值相加。 平移群由一步竖直平移和一步水平平移生成。把
上相应的两个映射——它们彼此交换并保持 ——记为 。 我们关心的是对一系列
求 的平均值。
再进一步简化，只考虑一维问题。此时有一个随机变量
，并研究形如 的经验平均。
例：平稳序列
可以取
为独立同分布随机变量。 或者
可以是一条马尔可夫链，其中每个 都服从平稳分布 。 圆周旋转：设
在 上均匀分布，并令 若
平稳，且 可测，则
也平稳。
Bernoulli 移位：
独立同分布，并令 利用 Kolmogorov 扩张定理，可以从单侧平稳序列构造双侧的、以
为指标的平稳序列。 如果
是参数为 的硬币的独立同分布投掷结果，但 本身也是随机的，会怎样？
定义
如果
与 的对称差的测度为零，就称 是不变的。 注意：所有不变事件组成的类
是一个 -域。 如果
平凡，也就是说每个 都满足 就称保测变换是遍历的。
例： 若
且
不变，那么 必然属于尾 -域 。因此，由 Kolmogorov 的 律， 的概率为零或一。所以这个序列是遍历的；换言之，序列空间 上的移位是遍历的。
其他例子： 公平抛硬币的情形如何？此时
平稳马尔可夫链序列又如何？
提纲
- 回顾基本设定
- Birkhoff 遍历定理
遍历定理
设
是 上的保测变换。则对任意 ，都有 收敛既是几乎必然的，也是
意义下的。 注意：如果序列是遍历的，那么
所以极限就是均值。
证明需要几页篇幅。我们要一起推导吗？
其中有这样一个引理：令
为事件—— 的最大值
非负。那么
Benford 定律
一个物理常数通常以哪个数字开头？请查阅 Benford 定律。
遍历定理是否在某种意义上为这条定律提供了数学框架？
