定义
如果
与 的对称差的测度为零，就称 是不变的。 注意：所有不变事件组成的类
是一个 -域。 如果
是平凡的，也就是说每个 都满足 就称一个保测变换是遍历的。
例： 若
且
是不变事件，那么 必然属于尾 -域 。因此，由 Kolmogorov 的 律， 的概率为零或一。所以这个序列是遍历的；换言之，序列空间 上的移位是遍历的。
其他例子： 公平抛硬币的情形如何？此时
平稳马尔可夫链序列又如何？
提纲
- 回顾设定
- Birkhoff 遍历定理
遍历定理
设
是 上的保测变换。则对任意 ，都有 收敛既是几乎必然的，也是
意义下的。 注意：如果序列是遍历的，那么
所以极限就是均值。
证明需要几页篇幅。我们要一起推导吗？
其中有这样一个引理：令
为下列事件—— 的最大值
非负。那么
Benford 定律
一个物理常数通常以哪个数字开头？请查阅 Benford 定律。
遍历定理是否在某种意义上为这条定律提供了数学框架？
