36-布朗运动

基本性质

• 布朗运动是一个实值随机过程

• 独立增量： 若

  则

  相互独立。

• 高斯增量： 若 ，则

  服从方差为 的正态分布。

• 连续性： 以概率 ，映射

  是连续的。

• 嗯……这是否意味着，我们需要使用一个 -代数，使得事件“ 连续”是可测的？

• 假设 是所有关于 的函数组成的集合，并使用使每个 都成为可测随机变量的最小 -域……这样会失败吗？

基本性质

• 平移不变性：

  是布朗运动吗？

• 布朗缩放： 固定 ，则

  也就是说，二者具有相同的分布。

• 另一种刻画： 是联合高斯的，并且

  且 几乎必然连续。

定义布朗运动

• 可以为任意有限组时刻的 值定义联合分布。

• 可以验证相容性，再利用柯尔莫哥洛夫定理把它延拓到可数集合。这给出了由柱集生成的 -域 上的测度。

• 但这还不足以得到几乎必然连续性。

• 可以相当容易地在二进有理数上联合定义布朗运动，并断言它几乎必然以唯一方式延拓为一条连续路径。

• 请参阅柯尔莫哥洛夫连续性定理。

• 使用类似的估计还可以证明赫尔德连续性，参见习题集。

• 可以推广到更高维：令每个坐标都是相互独立的布朗运动。

提纲

• 布朗运动的性质与构造

• 马尔可夫性质、布卢门撒尔 0–1 律

关于 -代数的进一步思考

• 记

• 记

• 注意右连续性：

• 允许我们对未来作一次“无穷小的窥视”。

马尔可夫性质

若 ，且 有界并且关于 可测，则对所有 ，都有

右端的含义是：先定义函数

再在 处取值。

布卢门撒尔 0–1 律

• 若

  则

  这里 是从固定值 出发、初始时刻为 的布朗运动的概率律。

• 从未来的无穷小邻域中，你得不到任何信息。