基本性质
布朗运动是一个实值随机过程
独立增量： 若
则
相互独立。
高斯增量： 若 (s,t\geq0)，则
服从方差为 (t) 的正态分布。
连续性： 以概率 (1)，映射
是连续的。
嗯……这是否意味着，我们需要使用一个
-代数，使得事件“ 连续”是可测的？ 假设
是所有关于 的函数组成的集合，并使用使每个 都成为可测随机变量的最小 -域……这样会失败吗？
基本性质
平移不变性：
是布朗运动吗？
布朗缩放： 固定
，则 也就是说，二者具有相同的分布。
另一种刻画：
是联合高斯过程，并且 且
几乎必然连续。
定义布朗运动
可以为任意有限组时刻的
值定义联合分布。 可以验证相容性，再利用柯尔莫哥洛夫定理把它延拓到可数集合。这给出了由柱集生成的
-域 上的测度。 但这还不足以得到几乎必然连续性。
可以相当容易地在二进有理数上联合定义布朗运动，并断言它几乎必然以唯一方式延拓为一条连续路径。
我们可以使用柯尔莫哥洛夫连续性定理（见下一页）。
使用类似的估计还可以证明赫尔德连续性，参见习题集。
可以推广到更高维：令每个坐标都是相互独立的布朗运动。
连续性定理
柯尔莫哥洛夫连续性定理： 假设
若
，则以概率 ，存在常数 ，使得对所有 都有
这里
表示二进有理数集合。 证明思路： 先考察所有
的整数倍处的取值，再考察所有 的整数倍处的取值，然后是所有 的整数倍，依此类推。 在每个阶段，我们都可以画出过程的一个良好分段线性近似。在第
步，近似在上确界范数（或某种其他赫尔德范数）下改变了多少？能否说明它很可能不会改变太多？能否说明这列近似在适当的赋范空间中几乎必然是柯西列？
连续性定理的证明
柯尔莫哥洛夫连续性定理： 假设
若
，则以概率 ，存在常数 ，使得对所有 ，都有 取自 Durrett（Pemantle）的论证： 记
切比雪夫不等式给出
因而，若
则
一些容易得到的结论
对任意
，布朗运动都是赫尔德连续的（在定理中取 、 ）。 布朗运动几乎必然处处不可微。
布朗运动几乎必然不是利普希茨连续的。
柯尔莫哥洛夫–琴佐夫定理也适用于高维情形（指数需要相应调整）。由此可以构造从
到 的几乎必然连续函数。
提纲
回顾
马尔可夫性质、布卢门撒尔 0–1 律
关于
记
记
注意右连续性：
允许我们对未来作一次“无穷小的窥视”。
马尔可夫性质
若
，且 有界并且关于 可测，则对所有 ，都有 右端的含义是：先定义函数
再在
处取值。 证明思路： 先对某些简单函数
（它们只依赖有限多个时刻的取值）证明该结论，再用测度论中的单调类定理把结论推广到一般情形。
展望
期望等价定理： 若 (Z) 有界且可测，则对所有 (sgeq0) 和 (xinmathbb{R}^d)，都有
[
mathbb{E}_x(Zmidmathcal{F}_s^+)mathbb{E}_x(Zmidmathcal{F}_s^{mathrm{o}}).
]证明思路： 先考虑
[
Z=sum_{i=1}^{m}f_m(B(t_m))
]的情形，其中各个 (f_m) 都有界且可测。在这种情形下，结论相当明显。然后使用与马尔可夫性质证明中相同的测度论方法，把结论推广到一般的 (Z)。
观察： 若 (Zinmathcal{F}_s^+)，则
[
Z=mathbb{E}_x(Zmidmathcal{F}_s^{mathrm{o}}).
]因此，(mathcal{F}_s^+) 与 (mathcal{F}_s^{mathrm{o}}) 仅相差零测集。
布卢门撒尔 0–1 律
若
[
Ainmathcal{F}_0^+,
]则
[
mathbb{P}(A)in{0,1}.
]这里 (mathbb{P}) 是从固定值 (x) 出发、初始时刻为 (0) 的布朗运动的概率律。
从未来的无穷小邻域中，你得不到任何信息。
证明： 若 (Ainmathcal{F}_0^+)，则前一定理给出
[
mathbf{1}_Amathbb{E}_x(mathbf{1}_Amidmathcal{F}_0^+)
mathbb{E}_x(mathbf{1}_Amidmathcal{F}_0^{mathrm{o}})
mathbb{P}_x(A),
qquad mathbb{P}_x ext{-几乎必然}.
]
更多观察
若
[
au=inf{tgeq0:B_t>0},
]则
[
mathbb{P}_0( au=0)=1.
]若
[
T_0=inf{t>0:B_t=0},
]则
[
mathbb{P}_0(T_0=0)=1.
]若 (B_t) 是从 (0) 出发的布朗运动，则由
[
X_0=0,
qquad
X_t=tB(1/t)
]定义的过程也是从 (0) 出发的布朗运动。可以通过检验：当 (s<t) 时，
[
mathbb{E}(X_sX_t)st,mathbb{E}!left(B(1/s)B(1/t)
ight)
s.
]
然后还需检查它在 (0) 处的连续性。
连续鞅
关于连续鞅，我们能说些什么？
它们是否看起来都有点像布朗运动？
