关于
记
记
注意右连续性：
允许我们“无穷小地窥视一下未来”。
向前看
期望等价定理： 若
有界且可测，那么对所有 和 ，都有 其中
有界且可测。在这种情形下，结论几乎显然。然后使用与证明马尔可夫性质时相同的测度论方法，把结论推广到一般的 。 观察： 若
，则 因此，
与 在相差零测集的意义下相同。
布卢门撒尔（Blumenthal）零一律
若
则
这里
是从固定位置 于时刻 出发的布朗（Brownian）运动的概率律。 从未来的一个无穷小邻域中，得不到任何信息。
证明： 若
，则前一个定理蕴含 $$
\mathbf 1_A\mathbb E_x(\mathbf 1_A\mid\mathcal F_0^{+})
\mathbb E_x(\mathbf 1_A\mid\mathcal F_0^{,o})
\mathbb P_x(A),
\qquad
\mathbb P_x\text{-几乎必然}.
$$
马尔可夫性质
若
，且 有界并关于 可测，那么对所有 ， 右端表示把函数
在
处取值。 证明思路： 先对某些简单函数
建立该结论，这些函数只依赖有限多个时刻的取值；然后使用测度论中的单调类定理，把结论推广到一般情形。
更多观察
若
则
若
则
若
是从 出发的布朗运动，那么由 定义的过程也是布朗运动。证明时，可先在
时验证 然后再检查它在零点的连续性。
提纲
回顾
强马尔可夫性质
停时
取值于
的随机变量 称为停时，如果对所有 ，都有 对右连续滤过而言，使用
还是 并无区别。 例： 对某个开集或闭集
，令
强马尔可夫性质
设
有界且关于
可测。若 是停时，那么对所有 ，在事件 上， 右端的含义是：将函数
在
、 处取值。 事实上，对更一般的马尔可夫过程，即费勒（Feller）过程，也有类似结论。
证明思路： 首先考虑
几乎必然属于某个递增可数序列的情形，例如 几乎必然是 的整数倍。此时，证明本质上可归结为离散马尔可夫性质的证明。接着，把一般停时向下舍入为 的整数倍，以离散时间逼近它。最后结合一些连续性估计、有界收敛和单调类定理得出结论。 用类似方法，可以把可选停止定理推广到连续鞅。
连续鞅
问题： 若
是布朗运动，那么 是鞅吗？
问题： 若
与 是相互独立的布朗运动，那么 是鞅吗？
问题： 若
是鞅，那么 是鞅吗？
问题： 若
是 上的布朗运动，即其实部和虚部是相互独立的布朗运动，而 是 上的解析函数，那么 是复鞅吗？
问题： 若
是 上的布朗运动，而 是 上的调和函数，那么 是鞅吗？
问题： 假设
是一维布朗运动，并且 由求解下列常微分方程确定： 那么
是鞅吗？
告别……以及供将来参考的信息
本课程已经到达一个有限停时，但过程仍将继续。
今后的概率论研究生课程包括：
- 18.177：2014 年秋季（Jason Miller）；
- 18.177：2015 年春季（Alice Giuonnet）；
- 18.176：2015—2016 学年秋季或春季。
概率论研讨会：每周一下午
。 我很乐意在资格考试和阅读方面提供帮助。
可以找这些友善的博士后交流：Vadim Gorin、Jason Miller、Jonathon Novak、Charlie Smart、Nike Sun、Hao Wu。
感谢大家选修这门课！
