14-附录-鞅的几乎必然收敛定理

定理 1. 设 是一个概率空间，配备滤过

设

是一个在 中有界的上鞅，即

则当 时，

其中

设

是一列实数，并设 是两个实数。定义

对 ，递归定义

并采用通常的约定

定义序列 在时刻 之前对区间 的上穿次数为

当 时，

其中 是序列 对区间 的总上穿次数。

引理 2. 实数序列 在扩充实数系

中收敛，当且仅当对每一对有理数 $a

引理 3（Doob 上穿不等式）. 设 是上鞅， 是两个实数。则对所有 ，

证明. 为了简化记号，写成

一方面，由 和 的定义可知，对每个 ，

另一方面，

这里应将最后一项理解为

当第 次上穿尚未开始时，该项为 。同时，

描述了最后一次完整上穿与下一次未完成上穿之间的顺序关系。

由于 和 都是停时，

是有界停时。由可选停止定理，

结合式 (1)，得到

这里使用了

因此，

结论得证。

定理 1 的证明. 令 为两个有理数。由引理 3，

由单调收敛定理，

因此，几乎必然有

令

则

由引理 2，在 上， 收敛到一个可能取无穷值的极限。定义

于是 是 -可测的。由 Fatou 引理，

因此

特别地， 几乎必然为有限值。故

证毕。

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