15-鞅导论

参加考试的学生总数为 人：

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今天的目标

• 概率空间；
• 条件期望；
• 鞅导论。

概率空间

定义

设 是一个集合。若 的子集族 满足：

• ；
• 若 ，则 ；
• 若 ，则

则称 是 上的一个 -代数。

二元组 称为一个可测空间。

定义

设 是可测空间。映射

称为概率测度，如果：

• ，；
• 它具有可列可加性：若 是 中两两不相交的集合序列，则

概率空间

是一个概率空间，其中：

• ：状态空间；
• ：-代数；
• ：概率测度。

条件期望——动机

• 是一个概率空间；
• 是两个随机变量。

初等条件概率为

初等条件期望为

怎样定义

呢？它应满足：

• 关于 可测；
• 对每个 ，

条件期望

设：

• 是概率空间；
• 是该概率空间上的随机变量，且

• 是一个子 -代数。

那么存在随机变量 ，使得：

• 是 -可测的，并且

• 对任意 ，都有

此外，若 也满足上述两个性质，则

满足上述两个性质的随机变量 称为给定 时 的条件期望，记作

注

• 若 ，则

• 若 是 -可测的，则

• 若 ，则

条件期望——基本性质

设 是概率空间，并且：

• 是该概率空间上属于 的随机变量；
• 是子 -代数。

那么有下列性质。

• **线性性。**对常数 ，

• **正性。**若 几乎处处成立，则

• **单调收敛。**若 几乎处处成立，则

• **Fatou 引理。**若 ，则

• **控制收敛。**若 、，并且 几乎处处成立，则

• **Jensen 不等式。**若 是凸函数，且

则

条件期望——基本性质

继续设 是概率空间，，并且 是子 -代数。

• **塔式性质。**若 是 的子 -代数，则

• **提出已知量。**若 是有界的 -可测随机变量，则

• **独立性。**若 与 独立，则

特别地，若 与 独立，则

条件期望——例子

设 是独立同分布随机变量，其共同分布与 相同，并且

令

并定义

问题：

答案：

鞅

设 是概率空间。

滤过 是 的一族递增子 -代数。

若随机变量序列

对 适应，即对每个 ， 都关于 可测，则称 适应于该滤过。

给定随机变量序列 ，与它相伴的自然滤过定义为

若每个 都可积，则称 可积。

定义

设 是一个可积过程。

• 若对所有 ，

则 是一个鞅。

• 若对所有 ，

则 是一个上鞅。

• 若对所有 ，

则 是一个下鞅。

例子

例 1

设 独立同分布，并且

则

是一个鞅。

例 2

设 独立同分布，并且

则

是一个鞅。

例 3

考虑有偏的赌徒破产模型：每一步中，赌徒以概率 赢得一美元，以概率 损失一美元。令 表示时刻 钱包中的金额。

• 若 ，则 是鞅；
• 若 ，则 是上鞅；
• 若 ，则 是下鞅。

2015 年春季