16-可选停止定理

回顾

• 是概率空间；
• 是一个滤过；
• 适应于 ，并且可积。

如果对所有 ，

则称 是鞅。

如果对所有 ，

则称 是上鞅。

如果对所有 ，

则称 是下鞅。

今天的目标

• 停时；
• 可选停止定理：

例

例 1. 设 独立同分布，并且

则

是鞅。

例 2. 设 独立同分布，并且

则

是鞅。

例 3. 考虑有偏的赌徒破产问题：在每一步，赌徒以概率 赢得 1 美元，以概率 损失 1 美元。令 表示赌徒在时刻 钱包中的金额。

• 如果 ，则 是鞅；
• 如果 ，则 是上鞅；
• 如果 ，则 是下鞅。

基本性质

关于期望

• 如果 是鞅，则对所有 ，

• 如果 是上鞅，则 关于 单调递减。
• 如果 是下鞅，则 关于 单调递增。

更多性质

• 如果 是上鞅，则 是下鞅。
• 如果 既是上鞅又是下鞅，则它是鞅。
• 如果 是鞅，则

是非负下鞅。

引理. 如果 是鞅，且 是凸函数，则

是下鞅。

例

假设 是 上的有偏随机游走，其中 ，并且

引理. 令

并定义

则 是鞅。

停时

假设 是一个滤过。

定义. 停时是一个随机变量

并满足

引理. 下列条件等价：

1. 对所有 ，

2. 对所有 ，

3. 对所有 ，

4. 对所有 ，

引理. 如果 都是停时，则下列随机时刻也都是停时：

停时

设 是一个配备滤过 的概率空间，并设

是适应于 的过程。

定义. 设 是停时。定义停时 处的 -代数为

直观地说， 表示在时刻 可获得的信息。

如果 ，则

随机变量

关于 可测。

设 和 是停时。如果

则

若 是一个过程，定义停止后的过程

为

过程 是适应的。如果 可积，则 也可积。

可选停止定理

目标是判断何时有

定理. 设 是鞅。

1. 如果 是停时，则 也是鞅。特别地，

2. 如果 是有界停时，则

特别地，

3. 如果存在可积随机变量 ，使得对所有 ，

并且 是几乎必然有限的停时，则

4. 如果 具有有界增量，即存在 ，使得对所有 ，

并且 是满足

的停时，则

赌徒破产问题

赌徒的处境可以用状态空间

上的一条马尔可夫链来建模：

• ：钱包中的初始金额；
• ：赌徒在时刻 的财富；
• 对每个非吸收状态，

状态 和 都是吸收态。令 表示赌徒停止的时刻。

定理. 假设

则

可选停止定理

定理. 设 是鞅。

1. 如果 是停时，则 也是鞅。特别地，

2. 如果 是有界停时，则

因而

3. 如果存在可积随机变量 ，使得

并且 是几乎必然有限的停时，则

4. 如果存在 ，使得

并且

则

可选停止定理

定理. 设 是上鞅。

1. 如果 是停时，则 也是上鞅。特别地，

2. 如果 是有界停时，则

特别地，

3. 如果存在可积随机变量 ，使得对所有 ，

并且 是几乎必然有限的停时，则

4. 如果 具有有界增量，即存在 ，使得

并且 ，则

5. 假设 是非负上鞅。则对任意几乎必然有限的停时 ，

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可选停止定理

定理. 设 是上鞅。

1. 如果 是停时，则 也是上鞅。特别地，

2. 如果 是有界停时，则

特别地，

3. 如果存在可积随机变量 ，使得对所有 ，

并且 是几乎必然有限的停时，则

4. 如果 具有有界增量，即存在 ，使得

并且 ，则

5. 假设 是非负上鞅。则对任意几乎必然有限的停时 ，