17-鞅的几乎必然收敛与Lp收敛

回顾

鞅： 对 ，

可选停止定理：

今天的目标

• 鞅的几乎必然收敛；
• Doob 最大值不等式；
• 时的 收敛。

各种收敛

空间

空间由满足

的随机变量组成。

范数为

三角不等式为

当 时， 空间由满足

的随机变量组成。

范数为

三角不等式为

引理. 当 时，

不同的收敛概念

• 几乎必然收敛：

• 收敛：

• 收敛：

鞅的几乎必然收敛

定理. 设

是一个在 中有界的上鞅，即

则当 时，存在某个 ，使得

证明. 证明作为附件发布在课程网站上。

推论. 设 是一个非负上鞅。则 几乎必然收敛到某个几乎必然有限的极限。

例

例 1. 设 是一列相互独立、均值为零的随机变量，并满足

令

则：

1. 是一个在 中有界的鞅；
2. 几乎必然收敛到

3. 事实上， 也在 中收敛到 。

例 2. 设 是一列相互独立的非负随机变量，并且

令

则 是一个非负鞅，并且 几乎必然收敛到某个极限

问题

假设鞅 在 中有界，则根据前面的定理，它几乎必然收敛。

问题： 是否必有

答案： 当我们还具有 收敛时，这个等式成立。

• 当 时， 收敛蕴含 收敛；本讲讨论这一情形。
• 一般的 收敛将在下一讲讨论。

Doob 最大值不等式

定理. 设 是一个非负下鞅。定义

则对每个 ，

定理. 设 是一个非负下鞅，并仍定义

则对所有 ，

回顾 Hölder 不等式. 若 、，且

则

时的 收敛

定理. 设

是一个鞅，且 。则下列命题等价：

1. 在 中有界：

2. 存在随机变量 ，使得 几乎必然且在 中收敛到 ；
3. 存在随机变量 ，使得

推论. 设 ，则

几乎必然且在 中成立。

例

设 是一列相互独立、均值为零的随机变量，并满足

令

则：

1. 是一个在 中有界的鞅；
2. 几乎必然且在 中收敛到

3. 极限的二阶矩为

例

设 是一列相互独立的非负随机变量，并且

令

则：

1. 是非负鞅；
2. 几乎必然收敛到某个极限 。

问题： 是否有

答案： 定义

则：

1. 如果

那么 在 中收敛，并且

这一结论将在下一讲证明。

2. 如果

那么

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