18-鞅与一致可积性

• 今天增设答疑时间：下午 1 点至 3 点。

回顾

设 是一个鞅。

• 若 在 中有界，则

• 若对某个 ， 在 中有界，则

今天的目标

• 在 中是否也收敛？
• 一致可积；
• 一致可积鞅的可选停止定理；
• 反向鞅。

一致可积

定义

若随机变量族 满足

则称该随机变量族是一致可积的，简称 UI。

1. 一致可积的随机变量族在 中有界，但反之不成立。
2. 若某个随机变量族对某个 在 中有界，则它一致可积。

定理

若

则随机变量族

是一致可积的。

收敛

随机变量族 一致可积，是指

定理

设 是一个鞅。下列陈述等价：

1. 一致可积；
2. 几乎必然且在 中收敛到 ；
3. 存在 ，使得对所有 ，

引理

设 、，且

那么

收敛

• 若 是一致可积鞅，则

此外，

• 若 是一致可积上鞅，则

并且

• 若 是一致可积下鞅，则

并且

例子

设 是均值为 的非负独立随机变量。令

1. 是一个非负鞅。
2. 几乎必然收敛到某个极限 。

问题

是否有

答案

令

1. 若

则 在 中收敛，并且

2. 若

则

可选停止定理

定理

设 是一个鞅。若 是有界停时，则

特别地，

定理

设 是一个一致可积鞅。若 是停时，则

特别地，

当停时可以取无穷大时，约定

总结

设 是一个鞅。

• 若 在 中有界，则

• 若对某个 ， 在 中有界，则

• 若 一致可积，则

再设 是一个一致可积鞅。

• 对任意停时 ，都有

• 特别地，

应用

定理（Kolmogorov 0–1 律）

设 独立同分布。令

则 是平凡的；也就是说，对每个

都有

反向鞅

定义

• 是概率空间；
• 一个由 编号的滤过满足

• 若过程 适应于该滤过，，并且对所有 ，

则称 为一个反向鞅。

推论

• 对所有 ，

• 过程 自动一致可积。

定理

设 是一个正向鞅， 是相应滤过。

• 若对某个 ， 在 中有界，则

• 若 一致可积，则

定理

设 是一个反向鞅， 是相应滤过。回顾

若 ，其中 ，则

并且

其中

应用

定理（强大数定律）

设 是属于 的独立同分布随机变量序列，并令

定义

注：源 PDF 已将 定义为样本平均，却又在结论中写成 。译文保留原式；按通常的强大数定律，预期结论应为 。

2015 年春季