01-数列极限

一般数列极限的定义在微积分中都已经学过，所以这里不再赘述。我们感兴趣的情形是：当极限不存在时，还有哪些性质可以用来描述数列。

设 是一个实数序列。

定义 A.1.

1. 假设存在实数 ，满足下列两个条件：

   1. 对所有 ，存在 ，使得对所有 ，

2. 给定任意 和 ，都存在 ，使得

此时称 为 的上极限，记作

2. 若 无上界，则定义

3. 若 有上界但无下界，并且不存在有限的上极限，则称

4. 的下极限定义为

不过必须说明，仅从这个定义不容易看出直观含义。下面两个注释更有助于理解。

注 A.2.

1. 定义 A.1(1) 中的条件 (a) 意味着：从第 项以后，所有项都位于 的左侧。
2. 定义 A.1(1) 中的条件 (b) 意味着：有无穷多项位于 的右侧。

注 A.3. 因为

并且

所以上极限与下极限在

中是唯一的。

例 A.4.

1. 若

则

2. 若

则

3. 若

则

4. 若

则

定理 A.5.

1. 对任意数列，

2. 数列 收敛，当且仅当

此外，

3. 数列 发散到 ，当且仅当

4. 数列 发散到 ，当且仅当

上极限和下极限有许多不同的定义与表述方式。从定义 A.1 来看，这一定义适合用于证明，但在实际求上极限与下极限的值时并不方便。注 A.3 的表述则具有很强的实用性：无论从直观理解还是从求值角度都很好用，但不太适合作为证明工具。

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