02-函数列与随机过程的收敛 I

在微积分中，我们学过数列的收敛；在高等微积分中，还会进一步讨论函数列的收敛，情形也更加复杂。由于函数收敛的情况非常丰富，这里分成两部分讨论：一部分是在高等微积分中常用的收敛性，另一部分是在高等概率论中常用的收敛性，也就是随机过程的收敛。本附录着重讨论高等微积分中的收敛性。所论函数可以定义在一般的定义域上，也可以直接把定义域理解为一个一般的概率空间。

B.1 逐点收敛

设 是概率空间，并且对每个 ，

都是随机变量。于是，对每个固定的 ， 都是一个实数序列。

定义 B.1. 若对每个 ，

则称 在 上逐点收敛于 ，记作

等价地，对每个 和每个 ，都存在 ，使得当 时，

这里的 可以依赖于 。

例 B.2. 设

那么对所有 ，

也就是说，

可以看出，逐点收敛已经是一个相当强的条件。但在这样强的条件下，是否会得到更好的性质呢？

问题. 设 在 上逐点成立。

1. 若每个 都连续，那么 也连续吗？
2. 若每个 都可积，那么 也可积吗？而且是否有

答案. 第一个问题的答案是否定的；第二个问题的答案也是否定的。

例 B.3.

1. 在 上令

那么

也就是说， 逐点收敛于 。然而，每个 都在 上连续，而 在 处不连续。

2. 对 ，令

那么

因此

但是，令 ，有

所以

因此，对于一些基本性质而言，逐点收敛似乎仍然太弱。下一节将介绍一种更强的收敛概念。

B.2 一致收敛

定义 B.4. 若对所有 ，都存在

其中 与 无关，使得当 时，对每个 都有

则称 在 上一致收敛于 。

请注意，一致收敛总是相对于某个集合而言的。

例 B.5.

1. 对 ，令

它的极限函数为

此外，对每个 ，取

当 时，对所有 ，

因此， 在 上一致收敛于 。

2. 对 ，令

由例 B.3(2)， 在 上逐点成立。假设 在 上一致成立。取 ，则存在 ，使得对 以及所有 ，都有

然而，取 ，则当 时，

这产生矛盾。因此， 不在 上一致收敛于 。

注 B.6. 若 在 上一致成立，则 在 上逐点成立。反方向不一定成立；例 B.5(2) 就是一个反例。

一致收敛有一个实用的等价定义。

注 B.7. 在 上一致成立，当且仅当

例 B.8.

1. 对 ，考虑

由例 B.2， 逐点成立。进一步，

所以 在 上一致成立。

2. 对所有 ，令

由例 B.3(1)， 逐点成立。但是

当 时并不趋于 。因此 不在 上一致收敛于 。

3. 对 ，考虑

由例 B.3(2)， 逐点成立。但是

当 时，这个量不趋于 。因此 不在 上一致收敛于 。

在一致收敛的条件下，极限函数具有更好的性质。

定理 B.9. 假设 在 上一致成立。

1. 若每个 都在 处连续，则 在 处也连续。因此，如果 是连续函数列，那么其极限函数 也是连续的。

   进一步，若 是聚点，则

2. 若每个 在 上都可积，则 也可积，并且