03-分布函数

设 是概率空间， 是其上的随机变量。

定理 C.1　每个定义在 上的随机变量 都通过下式在
上诱导一个概率测度 ：

因此，随机变量 把原概率空间
推送为新的概率空间

这里 称为 的分布或像测度。

记号 C.2

即集合 在 下的原像。因此

也就是

定义 C.3　函数

称为随机变量 的累积分布函数（cumulative distribution function，简称
c.d.f.）。

例 C.4

1. 若 的累积分布函数为

则称 服从均值为 、方差为 的正态分布，记作

2. 设

其中 是 Lebesgue 测度。

（i）令

则

（ii）令

则

它与 的分布函数相同。这样的随机变量称为在
上服从均匀分布。

命题 C.5　设 是随机变量 的分布函数，则：

1.

2. 单调不减且右连续。

注 C.6

1. 若 可微，则函数

称为 的概率密度函数（probability density function，简称
p.d.f.）。

2. 若 可表示为

其中 ，对所有 都有 ，并且

则称 为离散分布函数。

若对所有 都有 ，则

所定义的函数称为概率质量函数。

3. 任意分布函数 都有分解

其中

并且：

• 是离散分布函数；
• 是绝对连续分布函数，即 存在，并可由其密度积分恢复；
• 是奇异连续分布函数。这意味着
  几乎处处存在，而且

 但

例如，图 C.1 所示的 Cantor 函数就是奇异连续分布函数。图中标出

等关键点，并呈现 Cantor 函数的阶梯状连续结构。

图 C.1　Cantor 函数

注 C.7　随机变量 的期望可以写成

定理 C.8（变量替换）　若 是随机变量，

是 Borel 可测函数，则

问题　高维情形如何处理？

定义 C.9　考虑随机向量

即

在 上定义概率测度

随机向量 的分布函数定义为

其中

定理 C.10　若 是取值于 的随机向量，

是 Borel 可测函数，则

定理 C.11　以下命题等价。

1. 相互独立，即对所有适当的 Borel 集
   ，

2. 对

联合分布测度分解为乘积测度：

3. 联合分布函数分解为各边缘分布函数之积：