04-函数列／随机过程的收敛 II

附录 B 已经介绍了若干函数列与随机过程的收敛概念。本附录继续讨论这些概念之间的关系。

D.1　几乎处处收敛

定义 D.1　若存在零测集 ，即

使得对所有 ，都有

则称 几乎处处收敛到随机变量 。

注 D.2　逐点收敛推出几乎处处收敛。

理解“几乎处处收敛”时需注意：

1. 收敛只允许在一个零测集上失效；
2. 即使每个固定点上都能讨论极限，也应区分逐点收敛与几乎处处收敛。例如，在
   上，

因为只有端点 处的极限不是 ，而单点集合测度为零。

D.2　依概率收敛

定义 D.3　若对每个 ，

则称 依概率收敛到 。

直观地说，依概率收敛意味着事件

的概率越来越接近 ，也就是它在概率意义下越来越接近整个样本空间
。

命题 D.4　几乎处处收敛推出依概率收敛。

注 D.5　命题 D.4 的逆命题一般不成立，即依概率收敛不一定推出几乎处处收敛。

例如，考虑

定义

随后令指示区间继续依次扫过
，再扫过长度为 的各个二进区间，如此继续；并令

图 D.1 展示了这列函数： 在整个区间上为 ； 依次覆盖两个长度
的子区间； 依次覆盖四个长度 的子区间；之后继续以同样方式细分。

若 ，则在第 层二进分割中，

因此

但每个 都会无限多次落入被扫过的区间，也会无限多次落在其外，所以
不收敛到 。故 不几乎处处收敛到 。

图 D.1　随机过程 的“打字机序列”构造

注 D.5 的例子说明：依概率收敛虽然不能保证整列几乎处处收敛，却能保证抽出一列几乎处处收敛的子列。

定理 D.6　若

则存在子列 ，使

D.3　 收敛

定义 D.7　对 ，若

则称 在 中收敛到 。

这个定义以 次平均误差度量两个随机变量之间的距离。特别地，
收敛就是

即 与 的平均绝对距离趋于零。

定理 D.8　若

则

注 D.9　定理 D.8 的逆命题一般不成立。

例如仍取

并令

则

但

并不趋于 。所以 不在 中收敛到 。

定理 D.10　若

且存在随机变量 ，使对所有 都有

则

D.4　依分布收敛

定义 D.11　设 分别为 的分布函数。若对
的每个连续点 ，都有

则称 依分布收敛到 ，也称依律收敛，记作

定义只要求在极限分布函数 的连续点处收敛；若 有跳点，并不要求在这些跳点处也收敛。

注 D.12　 依分布收敛到 ，当且仅当对所有紧支集连续函数
，都有

这说明依分布收敛也可通过一类测试函数的期望来刻画。

定理 D.13　若 依概率收敛到 ，则 依分布收敛到
。

注 D.14　定理 D.13 的逆命题不成立。例如，设对所有 ，
与 相互独立，并且

则 与 的分布始终相同，所以

但 的分布并不向 集中，因此
不依概率收敛到 。

定理 D.15　若

则

注 D.16

1. 若

则

且

2. 但若只有

一般不能推出

或

原因是边缘分布的收敛不能单独确定 之间的联合依赖结构。

定理 D.17（Slutsky 型结论）　若

其中 为常数，则

该结论说明：与依分布收敛的随机变量相乘或相加的项若收敛到常数，则可以在极限中直接替换为这些常数。