05-黎曼–斯蒂尔切斯积分

回顾

考虑黎曼积分

再考虑第 1 章中引入的期望：

其中， 是 的概率密度函数， 是 的累积分布函数。式（E.1）中的第二个积分是勒贝格积分，第四个积分是黎曼积分。那么，式（E.1）中的第三个积分是什么？

E.1　定义

基本假设： 函数 在 上有界。

定义 E.1　设

是 的一个分割，并且对于 ，有

（1）形如

的和，称为 关于 的黎曼–斯蒂尔切斯和。

定义 E.1（续）

（2）如果存在 ，使得

那么称函数 在 上关于 黎曼–斯蒂尔切斯可积，并记为

也就是说，分割得越细， 就越接近 。

记号 E.2　如果定义 E.1（2）中的数 存在，那么它是唯一确定的，记作

我们也称黎曼–斯蒂尔切斯积分

存在。

例 E.3　令

其中 表示取整函数。求

解　考虑分割

于是

由于

并且

当 时，由上一页的计算得到

E.2　性质

定理 E.4　设 是两个实常数。

（1）如果 于 ，那么

并且

（2）如果 且 于 ，那么

并且

（3）如果 ，那么

定义 E.5　如果 $a

定理 E.6　如果 ，并且 在 上具有连续导数，那么黎曼积分

存在，而且

E.3　积分技巧

E.3.1　分部积分

定理 E.7（分部积分）　如果 于 ，那么 于 ，并且

例 E.8　与例 E.3 相同，令

于是

E.3.2　变量替换

定理 E.9（变量替换）　假设 于 ，并且 是 上的严格递增连续函数，满足

令

那么 于 ，并且

例 E.10　令 ，则

E.3.3　以阶梯函数作为

由注 C.6 和定理 E.4（2），有

其中，

可利用定理 E.6 改写成黎曼积分。本小节感兴趣的是讨论

这个积分。

注 E.11　如果 在 上恒为常数，那么对于每一个分割 ，都有

并且

我们现在感兴趣的是 为阶梯函数时的积分。

定理 E.12　给定 。定义

如图 E.1 所示。假设 与 中至少有一个在 处左连续，并且至少有一个在 处右连续。那么 ，而且

注 E.13　如果 与 在 处同时不左连续，或者同时不右连续，那么积分

不存在。

注 E.14

（1）如果

那么

原文脚注 1：上述积分值与 的取值无关。

图 E.1　简单函数 。

图中横轴标出 ，纵轴标出 。函数的取值关系为：

• 在 上，： 处为实心点， 处为 高度的空心点；
• 在 处，：图中为 高度的实心点；
• 在 上，： 处为 高度的空心点， 处为实心点。

注 E.14（续）

（2）如果

那么

例 E.15

（1）考虑

以及

那么

（2）考虑

以及

在 处， 和 都不是左连续的。因此，黎曼–斯蒂尔切斯积分

不存在。

定理 E.16（将黎曼–斯蒂尔切斯积分化为有限和）　设 是 上的阶梯函数，它在 处的跳跃量为

设 定义在 上，并且在每个 处， 与 不会同时不左连续，也不会同时不右连续。那么

存在，并且

例 E.17

（1）令

以及

由于 连续，积分

存在，并且

（2）令

则

在本节的最后，我们来看一个

的例子。

例 E.18　假设 是康托函数（见图 C.1）。由分部积分，

由于

等于康托函数在 上的图像下方面积，因此

所以

E.3.4　比较定理

定理 E.19　假设 是 上的递增函数。如果 于 ，并且对于每个 都有

那么

推论 E.20　如果 ，并且 是 上的递增函数，那么

注：原文的条件写作 ，而结论中的被积函数写作 ；这里按原文保留符号。

定理 E.21　假设 是 上的递增函数。如果 于 ，那么：

（1） 于 ，并且

（2）

定理 E.22　假设 是 上的递增函数。如果 于 ，那么

E.4　有界变差与黎曼–斯蒂尔切斯积分

定义 E.23　如果存在常数 ，使得对于 的每一个分割

都有

那么称函数

是有界变差的。

说穿了，有界变差就是指函数上下震荡的总和有界。但哪些函数是有界变差的呢？

定理 E.24　设 定义在 上。那么， 在 上有界变差，当且仅当存在两个递增函数 ，使得

定理 E.25　如果 在 上连续，并且 在 上有界变差，那么

此外，函数

具有下列性质：

（1） 在 上有界变差。

（2） 的每一个连续点也是 的连续点。