06-特征函数

本附录介绍特征函数。特征函数本质上是概率测度的 Fourier 变换，因此可以用
Fourier 分析的方法研究概率测度、随机变量和分布函数，并建立它们之间的一一对应关系。

F.1　一般性质

回忆：若 是分布函数为 的随机变量，则

而且

定义 F.1

1. 设 是
   上的概率测度。定义 的特征函数
   （characteristic function，简称 ch.f.）为

2. 设 是 上的分布函数。定义 的特征函数为

3. 设 是随机变量。定义 的特征函数为

也就是说，概率测度、随机变量和分布函数的特征函数是同一个对象的三种等价写法。

命题 F.2

1.

是连续复值函数。

2.

3. 若 是一列特征函数，
   ，且

则

也是特征函数。

4. 若 是特征函数，则

也是特征函数。因此，有限多个特征函数的乘积仍是特征函数。

5. 若 是特征函数，则

也是特征函数。若 是 的特征函数，则
是 的特征函数。

6. 若 是特征函数，则

也是特征函数。

例 F.3

1. 若

则其特征函数为

2. 若 服从 Cauchy 分布，密度为

则其特征函数为

3. 若 在 上服从均匀分布，则其特征函数为

4. 若 服从参数为 的 Poisson 分布，其分布函数为

则其特征函数为

因为特征函数就是概率测度的 Fourier 变换，所以可以利用 Fourier 反演研究分布。下面说明特征函数具有唯一确定分布的能力。

F.2　唯一性与反演

特征函数把概率测度映到函数。反演公式说明，这个映射是一一对应的：可以从特征函数恢复原概率测度。

定理 F.4　设 是概率测度， 是它的特征函数，即

若 $x_1

这就是特征函数的反演公式。

定理 F.5

1. 若

则

2. 对任意 ，

推论 F.6　若 是概率测度，且对所有 都有

则

也就是说，特征函数唯一确定概率测度。