07-微分方程

附录 G　微分方程

本附录介绍常微分方程的一些基本求解方法。

G.1　简单形式

考虑

或者等价地，

直接对两边积分，得到

例 G.1

设

则其解为

G.2　变量分离方程

方程

或者

可以把所有含 的项放在一边，把所有含 的项放在另一边。随后分别积分：

例 G.2

设

于是

对两边积分：

因此

从而

G.3　代换法

考虑一般方程

用

作代换，则

所以新变量 满足

例 G.3

（1）

考虑

令

那么

将原微分方程代入，得到

使用变量分离法：

对两边积分，

因此

也就是说，

由于

所以

原方程的解为

（2）齐次方程

考虑

令

则

将它代入原方程，得到

因此

例如，考虑微分方程

可以写成

令

那么

因此

对方程

积分，得到

所以

代回

可得原微分方程的解

G.4　恰当方程与积分因子

定义 G.4

若

满足

则称它为恰当方程。

为什么称为恰当方程？考虑

对 求导，得到

也就是说，

在 满足适当的光滑性条件时，

因此，若

就可以把微分方程写成

例 G.5

考虑

由于

这个微分方程是恰当的。由

开始求 。

对 积分：

其中 是只依赖于 的函数。

另一方面，

因此

即

于是该微分方程的解由

隐式给出。

积分因子

有些微分方程

本身不是恰当方程，但可以寻找一个函数

称为积分因子，使得乘过积分因子的方程

成为恰当方程。

由定义， 必须满足

（i）积分因子只依赖于

若

而且

只依赖于 ，则积分因子为

（ii）积分因子只依赖于

若

而且

只依赖于 ，则积分因子为

例 G.6

（1）

考虑

它也可以用变量分离法求解；这里改用积分因子。取

原方程变成

也就是说，

因此解满足

从而

（2）

考虑

这里

所以

因此积分因子为

将原方程乘以 ，得到

这正是

因此解为

特殊情形：一阶线性方程

考虑

也可以写成

下面求它的积分因子。假设积分因子只依赖于 ，记为

原方程乘以 后变成

为了让左边成为恰当微分，希望

而

因此必须有

即

对两边关于 积分：

所以积分因子为

因此，原微分方程可以写成

从而其解为

积分常数包含在不定积分中。