12-单期模型

第 3 章　单期模型

假设：

1. 时间 。所有交易均在 时进行。
2. 样本空间为

且对所有 ，均有 。在时刻 ，

在时刻 ， 是 的所有子集组成的集合。 表示投资者在时刻 所掌握的信息。
3. 假设金融市场中有一只债券和 只股票。证券价格向量为

其中，上标 表示矩阵的转置，并且

在时刻 ， 和 都是常数，也就是说， 是一个确定性向量。

在时刻 ，债券价格 是常数，而第 只股票的价格

是一个随机变量，其中 。参见图 3.1。

注： 本章所考虑的概率空间 均为有限概率空间。以后若考虑一般概率空间，将另行说明。原文中带星号的内容尤其重要。

图 3.1　单期模型中的价格

3.1　投资组合

定义 3.1. 投资组合是向量

其中 表示第 种资产的持有份额。

注 3.2. 投资组合 在时刻 的价值为

投资组合 在时刻 的价值为

投资组合 的利润为

例 3.3. 假设

若投资组合

则它在时刻 的价值为

此外，在时刻 ，

因此，投资组合 在时刻 的价值为

其利润为

3.2　衍生证券

除债券和股票之外，证券还包括期权、衍生证券或或有索取权。

例 3.4（远期合约）. 两个交易方在时刻 订立合约：其中一方同意在时刻 ，以时刻 约定的价格 向另一方出售某项资产。

对买入该资产的一方而言，远期合约在时刻 的收益为

远期合约与期货合约有所不同。期货合约通常是在交易所交易的标准化合约，并实行逐日盯市结算；远期合约则通常是交易双方私下订立的非标准化合约，其盈亏一般在到期时结算。

例 3.5（看涨期权）. 期权持有人有权、但没有义务，在时刻 以称为执行价格的固定价格 买入该资产。其收益为

例 3.6（看跌期权）. 期权持有人有权、但没有义务，在时刻 以固定价格 卖出该资产。其收益为

定义 3.7.

1. 概率空间 上满足

的随机变量 ，称为一个或有索取权。

2. 若或有索取权 关于

可测，即存在定义在 上的可测函数 ，使得

则称 是 的一个衍生证券。

问题： 一个或有索取权的价格是多少？

3.3　无套利

定义 3.8. 若投资组合 满足

以及

则称 是一个套利机会。

条件 (i) 表示投资者在时刻 的净投入不为正；条件 (ii) 表示在时刻 不会亏损，并且以正概率获得严格为正的收益。这正是所谓“免费午餐”。

注 3.9. 若

则存在套利机会等价于存在投资组合 ，使得

并且

例 3.10.

1. 假设 ，且 ，。令

取

这是一个套利机会，因为

而

2. 假设 ，且 ，。令

这个模型中不存在套利机会。

3. 考虑

其中 是勒贝格测度。令

其中 在 上服从均匀分布。取

这是一个套利机会，因为

且

此外，

假设： 债券的利率为 ，即

引理 3.11. 下列命题等价：

1. 市场模型中存在套利机会；
2. 存在向量 ，使得

且

这个引理是定义 3.8 的另一种表述。债券头寸可以根据股票头寸和初始投资确定，因此只需考察股票部分 。这里假设利率 是常数。

证明. ：设

是一个套利机会。则

因此，

由于 是套利机会，

并且

：设 满足命题 (2)，并令

于是

而

由假设可知

因此， 是一个套利机会。证毕。

定义 3.12. 如果一个金融市场中不存在套利机会，就称该金融市场满足无套利，或称其是无套利的、不存在“免费午餐”。

无套利是金融数学中最基本的假设之一。一个合理的金融模型应当满足无套利条件。

3.4　无套利与价格系统

本节将建立无套利条件与价格系统之间的等价关系。首先在有限状态空间中讨论；以后还会研究该结果在更一般情形下的推广。

定义 3.13.

1. 定义 矩阵

称 为收益矩阵。

2. 向量

称为价格向量。

3. 称

为一个市场模型。

这里， 表示所有元素均为实数的 矩阵组成的集合。

例 3.14. 在例 3.3 中，

记号 3.15. 设

1. 表示对所有 ，均有 。
2. 表示所有 ，并且至少有一个 。
3. 表示对所有 ，均有 。

注 3.16. 注 3.9 中的套利条件可以写成

用上述记号，这就是套利机会的矩阵形式。

注 3.17. 套利机会的另一种定义是：投资组合 满足

或者满足

第一种情形就是注 3.16 中的套利；第二种情形有时称为强套利。对“市场是否无套利”这一问题，两种表述是等价的。事实上，若存在满足式 (3.1) 的投资组合，就可以构造出注 3.16 意义下的套利机会。

断言： 若存在满足式 (3.1) 的投资组合 ，则存在注 3.16 意义下的套利机会 。

设

并定义

于是

并且

其中使用了 、 以及债券价格严格为正。因此， 是套利机会。

定理 3.18（资产定价基本定理）. 对市场模型 ，下列命题等价：

1. 市场模型是无套利的。
2. 存在

使得对所有 ，均有

其中

3. 存在

使得

证明. ：无套利意味着不存在 使得

因此，线性映射 的像空间

与 的非负正交锥中除原点外的部分不相交。由分离定理，存在 ，使得 与像空间中的每个向量正交，即

图 3.2　像空间与正正交锥的分离

这里使用的分离定理来自凸分析：两个互不相交的凸集可以由一个超平面分开。在本题中， 是一个线性子空间。

：将 写成

由于 ，故 且 。对每个 ，

令

则 ，并且

因此

：假设存在 使 。由于 ，

由 可得

所以不可能同时有 。根据注 3.16，市场中不存在套利机会。证毕。

这个定理非常重要。它说明：在有限概率空间中，市场模型 无套利，当且仅当存在严格正向量 满足式 (3.2)。以后还会把这个结果推广到更一般的情形。

例 3.19. 考虑一个单期、两状态的市场模型：

并假设

若市场无套利，则存在 ，使得 。

方程 等价于

其解为

因此， 当且仅当

且

也就是说，该市场模型无套利，当且仅当

练习. 考虑市场模型

1. 证明该市场模型是无套利且完备的，并通过求解 找出 。

2. 求无风险利率。

3.5　鞅测度

注 3.20. 方程 可以展开为

若

则第一行方程给出

对每只股票 ，其余各行可以改写为

注 3.21. 定义

由于 ，且这些数之和等于 ，所以 是 上的一个概率测度。

定义 3.22. 按照式 (3.4) 定义的概率测度 ，称为风险中性概率测度。

注 3.23. 一般而言，风险中性概率测度 未必唯一。其唯一性取决于方程组 的严格正解是否唯一。

定理 3.24. 若市场模型无套利，则存在风险中性概率测度 ，使得对 ，

这里， 表示在概率测度 下取期望。上述条件与 等价。

例 3.25. 对例 3.19 中的两状态市场，

因此，风险中性概率测度 为

并且

所以

注 3.26. 令

其中 是第 只股票的贴现价格。于是，式 (3.5) 表明

也就是说，对每个 ，过程

都是一个鞅。这个概念不仅适用于单期模型，也将推广到多期模型。正因如此，风险中性测度 也称为鞅测度。

注 3.27.

1. 对每个 ， 在 下是鞅，因此 也是鞅。于是，投资组合的贴现价值过程

在 下也是鞅，其中债券贴现后的价格为常数 ，并记

2. 随机变量

称为贴现净收益。因此，对所有 ，

定义 3.28.

1. 若两个概率测度 和 满足：对所有 ，

则称 与 等价，记为

2. 与 等价的风险中性测度也称为定价测度或等价鞅测度，简称 EMM。

例 3.29.

1. 令

并令 为 的所有子集组成的集合。定义

则

2. 考虑概率空间 ，并设随机变量 满足

对每个 ，定义

则：

1. 是一个概率测度；

2. 。

定理 3.30（资产定价基本定理）. 市场模型无套利，当且仅当集合

证明. “”：假设存在 。设 满足

由于 ，以上条件在 下仍然成立，因而

又因为 是鞅测度，

因此，这样的 不可能满足初始价值非正，市场模型无套利。

这里，在有限状态空间中，

与非负收益的期望严格为正是等价的。

“”方向的证明技术性较强，原文略去；可参见 Föllmer 与 Schied [12] 第 7 页。证毕。

风险中性测度不一定唯一。

例 3.31. 考虑一个包含一只债券和一只股票的金融市场。样本空间为

并且

假设 不是常数。若该金融市场无套利，则存在

使得

因此，

这个方程组有多少个严格正解？

1. 若 ，由于 不是常数，故

不妨假设 。由例 3.25，等价鞅测度唯一，并且

2. 若 ，等价鞅测度通常不再唯一。事实上，在本例的非退化情形下，会有无穷多个等价鞅测度。

定理 3.30 很难直接推广到无限多个资产的市场。困难在于：概率测度 是未知的，而资产定价条件又有无限多个。

例 3.32. 定理 3.30 对具有无限多个资产的市场模型未必成立。令

且对所有 ，均有 。

设

即利率 。对每个 ，令第 只股票的初始价格为

而终值为

1. 断言：该市场模型无套利。

   假设

是一个定义良好的投资组合，并且

当 时，

当 时，

因此

对一个定义良好的无限资产投资组合，上述级数必须收敛；这个单调非正序列只有全部为零才可能满足该要求。因此 ，。再由初始价值非正、终值非负可得 。所以不存在套利机会。

2. 断言：不存在等价鞅测度。

   假设存在等价鞅测度 ，则

因而，对每个 ，

所以

于是所有单点的概率都相同。它们不可能既全部严格为正、又使 ，矛盾。因此不存在等价鞅测度。

定理 3.33（一价定律）. 假设市场模型无套利，并且两个不同的投资组合 与 满足

则

这个结论很直观：在无套利市场中，如果两个投资组合在未来产生完全相同的收益，那么它们在当前必须具有相同的价格。

证明. 由于

故

由 与 的等价性，

于是

因此

证毕。

注 3.34. 若

则在市场无套利时，可以定义 的价格为

由定理 3.33，这个定义与复制 时所选的投资组合无关，因此是良定义的。此外，由定理 3.24，

3.6　定价

衍生证券定价是金融数学中最重要的问题之一。考虑一个衍生证券 ，它在时刻 的价格 应当是多少？

基本思想是把该衍生证券作为一项新的资产加入原市场，即令

对价格 的基本要求是：按式 (3.6) 扩展后的市场仍然无套利。

定义 3.35. 若实数 使按式 (3.6) 扩展后的市场模型无套利，则称 是或有索取权 的一个无套利价格。 的所有无套利价格组成的集合记为

定理 3.36. 假设 。则 ，并且

证明. 由定理 3.24 和定理 3.30， 是 的无套利价格，当且仅当对按式 (3.6) 扩展后的市场，存在 ，使得

特别地，对新加入的第 项资产，

因此，

反过来，若对某个 ，

则 也是扩展后市场的等价风险中性测度。因此，

证毕。

例 3.37. 考虑市场模型

存在 ，使得

因此，

设

则

解得

其中

显然，风险中性测度不唯一。由于本例中 ，所有等价风险中性测度组成的集合为

1. 考虑或有索取权 ，其收益为

则对任意 ，

2. 考虑或有索取权 ，其收益为

则

因此，

由上例可见，在第一种情形中，或有索取权 在时刻 只有一个无套利价格；在第二种情形中，它却有多个无套利价格。为什么会有这种差别？

定义 3.38. 如果存在 ，使得

则称或有索取权 是可实现的或可复制的。此时，投资组合 称为 的复制投资组合。

推论 3.39. 假设市场模型无套利，且 是一个或有索取权。

1. 可实现，当且仅当它只有一个无套利价格。
2. 若 不可实现，则存在 $a

证明.

1. 由定理 3.33 可得。
2. 由于 是凸集， 也是凸集，所以 是一个区间。还需要证明 是开集；这一部分的证明具有一定技术性，原文略去。

证毕。

注 3.40. 事实上，若 不可实现，则

其中

而

例 3.41. 一个金融市场中有一只债券和一只股票，其中

假设在 下， 服从参数为 的泊松分布，即

于是 是一个风险中性测度，因为

因此，该市场模型无套利。

考虑或有索取权

对任意 ，由詹森不等式，

另一方面，因为 ，

所以

事实上，可以证明

3.7　完备市场模型

定义 3.42. 如果一个无套利市场模型中的每一个或有索取权都是可实现的，则称该市场模型是完备的；否则称其为不完备的。

由推论 3.39 可知，一个市场模型完备，当且仅当每一个或有索取权都有唯一的无套利价格。

例 3.43.

1. 考虑

是一个完备市场模型，因为对任意或有索取权 ，方程组

都有唯一解 。

2. 考虑

是一个不完备市场模型，因为收益为

的或有索取权 不可实现。

定理 3.44. 一个无套利市场模型是完备的，当且仅当恰好存在一个风险中性概率测度。

证明. “”：对任意 ，示性函数 是一个或有索取权。由于市场完备，它的无套利价格唯一，并且

因此，

这表明 在每个事件上的取值都被唯一确定，所以风险中性测度唯一。

“”：假设

则任意或有索取权 都有唯一的无套利价格。由推论 3.39， 可实现。因此，市场模型是完备的。证毕。

例 3.45. 假设

也就是说，市场中有一只债券和一只股票。设债券价格为

而股票在时刻 的价格满足

并令

1. 该市场模型无套利，当且仅当

2. 对任意给定的

风险中性测度 必须满足

因此 唯一，并且

这说明该市场模型是完备的。

3. 还可以用另一种方法说明市场完备：对任意或有索取权 ，寻找

使 ，也就是求 使得

其解为

因此， 可实现。

4. 的无套利价格为

特别地，若

则

练习

1. 考虑市场模型

1. 判断该市场模型是否完备、是否无套利。

2. 求执行价格 的看涨期权的价格。

3. 考虑市场模型

1. 判断该市场模型是否完备、是否无套利。

2. 求执行价格 的看涨期权的价格。

3. 考虑市场模型

1. 证明 是完备的，但不是无套利的。

2. 找出一个套利机会。

3. 考虑市场模型

1. 证明 是无套利的，但不完备。

2. 求所有可能的等价鞅测度。

3. 找出一个不可复制的或有索取权。

4. 求所有可复制或有索取权组成的集合。

5. 考虑市场模型

1. 证明 是无套利且完备的。

2. 求执行价格 的看涨期权和看跌期权的价格。