13-多期模型

多期模型

假设

1. 交易时刻为

2. 时刻 的所有可能情形由样本空间 描述。
3. 时刻 可获得的信息为 ，其中 。
4. 价格过程关于滤过 适应；也就是说，时刻 的价格是 -可测的。

例　设

价格随时间和状态的演化由图 4.1 所示的三期二叉树给出：在 时所有状态尚不可区分；在 时分为两组；在 时分为四组；到 时，八个状态 均可区分。

图 4.1　三期状态树。

该模型中的滤过为

4.1　市场模型

定义 4.1　一个市场模型是一个二元组 ，其中

是一个滤过，

是一个关于 适应的随机过程，并且

表示时刻 的证券价格向量。

定义 4.2　如果随机过程 满足： 是 -可测的，并且对所有 ， 都是 -可测的，则称该过程是可预见的（或可预测的）。

定义 4.3　交易策略

是一个取值于 的可预测过程。其中， 表示从时刻 交易完成后到时刻 交易开始前所持有的第 种资产的单位数。

图 4.2 表示价格 、策略 与交易时段之间的关系。

注 4.4　交易完成后，投资组合 在时刻 的总价值为

图 4.2　交易策略、股票价格与交易时段。策略 在时刻 调整完成，并持有到时刻 调整之前。

在时刻 交易开始前，投资组合 的价值已经随资产价格变化为

定义 4.5　如果交易策略 满足

则称 是自融资的。

自融资的含义是：调整投资组合时没有外部资金流入，也没有资金从组合中取出。

注 4.6

1. 若 是自融资策略，则

这说明，投资组合价值的变化只来源于资产价格的波动。

2. 若 是自融资策略，则它在时刻 的价值为

注 4.7　通常假设 是（局部）无风险资产。可以取

并设即期利率为 。

于是

因此，对每一个 ，都有

记号 4.8　假设“对所有 ，”使我们能够以 作为计价单位。定义贴现价格过程

以及

定义 4.9

1. 与交易策略 相联系的贴现价值过程

定义为

2. 与 相联系的收益过程

定义为

注 4.10　由记号 4.8，

因此， 是以计价资产为单位表示的第 个交易期末的投资组合价值。

命题 4.11　对于交易策略 ，下列条件等价：

1. 是自融资策略；
2. 对 ，

3. 对所有 ，

证明　“(1) (2)”：由定义 4.5， 自融资当且仅当

对所有 成立。这等价于

“(2) (3)”：该等价关系来自

其中 。对上式求和即得结论。证毕。

注 4.12　由命题 4.11(2)，如果 是自融资策略，则债券头寸满足

4.2　套利机会

定义 4.13

1. 若一个自融资交易策略的价值过程满足

并且

则称该策略是一个套利机会。

2. 不允许套利机会的市场模型称为无套利市场模型。

在一期模型中，我们已经讨论了套利机会。多期模型中的套利可以归结为某个单独交易期上的条件：若从某个 到 的价格增量可以产生非负且有正概率严格为正的收益，就能在整个多期市场中构造套利；反之，任何多期套利也必然在某一步暴露出这种机会。

命题 4.14　市场模型存在套利机会，当且仅当存在某个

以及一个 -可测的交易头寸 ，使得

并且

证明　“”：假设市场模型存在套利机会。设

是一个套利策略，其价值过程为 。令

于是 。根据 的定义，要么

要么

分两种情形讨论。

1. 若 几乎必然成立，则由命题 4.11(3)，

令 。由 的定义，

且

2. 若 ，令

则 是 -可测的，并且

显然， 同时满足 (4.1) 和 (4.2)。

“”：给定满足 (4.1) 和 (4.2) 的 与 ，定义一个 维可预测过程 ：

再按照注 4.12 定义 ，于是可以唯一确定一个自融资策略 。由命题 4.11(3)，

因此， 是一个套利机会。证毕。

图 4.3 给出了一个两期市场模型。其价格如下：

图 4.3　例 4.15 中的两期价格树。

例 4.15　设

各时刻、各状态下的价格如图 4.3 所示。这个市场模型是无套利的。检验方法是：分别考察从 到 ，以及每个 节点到 的一期子模型；每个子模型都不存在套利，因此根据命题 4.14，整个模型不存在套利机会。

练习

1.（24 分）考虑图 4.4 所示的市场模型。证明该市场模型不是无套利的，并找出该模型中的一个套利机会。

4.3　鞅测度

定义 4.16

1. 若 上的概率测度 使贴现价格过程 成为一个 维 -鞅，则称 为一个鞅测度。

图 4.4 中练习 (1) 的市场价格树由下列节点价格 构成：

• 初始节点：；
• 第一层节点：、；
• 后续节点包括 、、、；
• 终端节点包括 、、、、、、、。

图 4.4　练习 (1) 中的市场模型。

更明确地说， 是鞅测度，是指对

都有

以及

2. 若鞅测度 与 等价，即

则称 为一个等价鞅测度。

3. 用

表示所有等价鞅测度组成的集合。

例 4.17　继续考虑例 4.15。各分支在等价鞅测度下的条件概率如图 4.5 所示。

图 4.5 中，从初始节点到第一层两个节点的概率均为 ；从第一层上方节点出发的两个分支概率分别为 与 ；从第一层下方节点出发的两个分支概率分别为 与 。

图 4.5　例 4.17 中的等价鞅测度。

因此，等价鞅测度 为

可直接检验在此测度下贴现价格过程是鞅。

定理 4.18　下列条件等价：

1. 是一个等价鞅测度。
2. 若 是自融资策略且 有界，则 的价值过程 是 -鞅。
3. 若 是自融资策略，且其价值过程满足

则 是 -鞅。
4. 若 是自融资策略，且其价值过程满足

则

证明　证明 (1) (2)。设 是自融资策略

的价值过程，并且对所有 都有 。由命题 4.11(3)，

因为对所有 都有 ，所以

此外，对 ，

所以 是一个 -鞅。其余等价关系可参见 Föllmer 与 Schied [12] 第 4 章。证毕。

条件“ 有界”“”或“”的作用，是排除会产生不受控制负头寸的加倍策略。

注 4.19　考虑一个利率 的赌博。每次以相同胜负概率下注：第一次下注 1 美元；若失败，下一次下注 2 美元；若再次失败，继续把下注额翻倍为 4 美元、8 美元，依此类推；一旦获胜就停止。

初始交易头寸为

即先借入 1 美元下注。若第一次失败，就借入更多资金将下注额加倍。该策略的结构见图 4.7。

图 4.6 表示一次赌博的收益：以 的概率获利，以 的概率亏损。图 4.7 中的加倍策略依次下注

若某次获胜就立即停止；若失败，则继续把下一次的下注额加倍。因此，无论在第几次首次获胜，累计净收益都等于 1。例如，在连续失败 次后第 次获胜，净收益为

于是

从形式上看，这构成一个套利机会。然而，该策略需要允许无限的交易期限和没有下界的潜在亏损，因此不满足定理 4.18 中的可接受性或可积性条件。这正是需要排除加倍策略的原因。

定理 4.20（资产定价基本定理）　市场模型无套利，当且仅当所有等价鞅测度的集合

非空。

证明　这是本章的核心定理。完整证明可参见有关离散时间资产定价基本定理的标准证明。

“”：假设存在一个等价鞅测度 。由定理 4.18，自融资策略的价值过程在适当可积性条件下是 -鞅。

因此，对于任何满足 的自融资策略，

若

则

从而

这说明不可能存在初始投入不为正、终端价值非负且有正概率严格为正的策略。因此市场中不存在套利机会，也就是说，市场模型是无套利的。

“”方向可利用有限维空间中的分离定理证明：若不存在套利，则价格增量所生成的可达收益锥与严格正的收益集合可以被一个严格正的线性泛函分离；将该泛函归一化后即可得到与 等价、并使贴现价格过程成为鞅的概率测度。证毕。

4.4　欧式或有索取权的无套利价格

定义 4.21

1. 上的一个非负随机变量 称为一个欧式或有索取权。
2. 如果 关于价格过程

生成的 -代数可测，则称 是标的资产

的衍生品。
3. 称为 的到期日。
4. 的贴现价值定义为

称为与 对应的贴现欧式索取权。

从现在起，假设市场模型无套利，即

定义 4.22　如果存在一个自融资策略 ，使得

则称或有索取权 是可达的、可复制的或冗余的。 称为 的一个复制策略。

注 4.23　 可达，当且仅当与之对应的贴现索取权满足

此时，也称 是 的复制策略，并称 可达。

定理 4.24

1. 任意可达的贴现索取权 关于每一个等价鞅测度都可积，即

2. 对每一个 ，任意复制策略的价值过程都满足

其中 。

3. 是一个非负的 -鞅。

该结论直接来自定理 4.18：因为 ，所以 ，而复制策略满足 。因此，其价值过程在每个等价鞅测度下都是鞅；这也是多期模型中一期定价结论的自然推广。

定义 4.25

1. 若实数 满足下述条件，则称其为贴现索取权 的一个无套利价格：存在一个适应随机过程 ，使得

并且，将这一新资产加入原市场后，以

为贴现价格过程的扩展市场仍然无套利。

2. 用

表示 的所有无套利价格组成的集合。此外，记

注 4.26　或有索取权

的未贴现无套利价格为

式 (4.3) 反映了贴现价格与所选计价单位之间的关系。因为 是以终端计价资产为单位表示的索取权，而 是其在时刻 的贴现价格，所以

定理 4.27　有

当 时，

证明

1. 由定理 4.20， 是无套利价格，当且仅当扩展市场存在一个等价鞅测度 。因此，

上式对 以及 成立。特别地，

且

所以

2. 反之，若对某个 ，

定义

则 满足定义 4.25(i)。此外，

在 下是鞅。因此扩展市场无套利， 是一个无套利价格，即

故

证毕。

例 4.28

1. 考虑执行价格为 、到期日为 的欧式看涨期权

假设 递增且 。那么对所有 ，

上述不等式使用了 Jensen 不等式、，以及 在 下是鞅这一事实。因此

式 (4.4) 的金融含义是：看涨期权价格至少不能低于其立即执行价值；两者之间的部分可视为期权的时间价值。

图 4.8　看涨期权价格、内在价值 与时间价值。

2. 考虑欧式看跌期权

对于看跌期权，若 不是常数，则一般不能直接得到与 (4.4) 完全同形的下界；当所有 上的 都是常数时，相应结论才直接成立。

图 4.9 表示看跌期权的立即执行价值 。

根据定理 4.27，不同的等价鞅测度可能给出不同的无套利价格。在一期模型中也出现过相同现象；下面的结果描述可达性与无套利价格唯一性之间的关系。

定理 4.29　设 是一个贴现索取权。

1. 若 可达，则

图 4.9　看跌期权的立即执行价值 。

2. 若 不可达，则或者

或者

与第 3 章类似，有如下定义和结论。

定义 4.30　若一个无套利市场模型中的每一个或有索取权都是可达的，则称该市场模型是完备的。

定理 4.31　一个无套利市场模型是完备的，当且仅当

即等价鞅测度唯一。

练习

1. 考虑图 4.10 所示的市场模型。

   1. 若样本空间为

  描述该市场模型中的滤过。

2. 证明该市场模型无套利且完备，并求出其等价鞅测度。

图 4.10 所示市场树的各节点价格 为：

• 初始节点：；
• 第一层：、；
• 第二层：、、、；
• 终端层：、、、、、、、。

图 4.10　练习 (1) 中的市场模型。

继续练习 1：

3. 求到期日 、执行价格 的看涨期权在时刻 的无套利价格。

4. 求到期日 、执行价格 的看跌期权在时刻 的无套利价格。

5. 求到期日 、执行价格 的看涨期权在时刻 的无套利价格。

6. 考虑图 4.11 所示的市场模型。

   1. 若样本空间为

  描述该市场模型中的滤过。

2. 证明该市场模型无套利，并求出该模型所有等价鞅测度组成的集合。

图 4.11 所示市场树的各节点价格 为：

• 初始节点：；
• 第一层：、、；
• 终端层包含 、、、、、、、、。

图 4.11　练习 (2) 中的市场模型。

继续练习 2：

3. 求到期日 、执行价格 的看涨期权在时刻 的无套利价格。

4. 求到期日 、执行价格 的看跌期权在时刻 的无套利价格。

5. 求到期日 、执行价格 的看涨期权在时刻 的无套利价格。

6. 考虑一个含有一种债券和一只股票的两期市场模型。样本空间为

假设股票价格为

以及

此外，假设债券利率为 ，即

1. 求使该模型无套利的 的取值范围，并进一步求出所有等价鞅测度组成的集合。
2. 假设该市场模型无套利。这个模型是否完备？说明理由。
3. 若 ，求到期日 、执行价格 的看涨期权在时刻 的无套利价格。