14-美式或有索取权

欧式或有索取权只能在到期日执行，而美式或有索取权可以在到期日之前的任意允许时刻执行。为了刻画这种执行权，首先需要引入停时。

5.1　停时

考虑带有滤过

的概率空间 。

定义 5.1　随机变量

称为关于 的一个停时，如果对每个 ，

例 5.2　设

滤过 如下：

1. 考虑图 5.1 所示的随机变量 。由于

所以 是一个停时。

图 5.1　随机变量 ：它在 上取值 1，在 上取值 2，在 上取值 3。

2. 考虑图 5.2 所示的随机变量 。由于

所以 不是停时。

注 5.3

1. 随机变量

是停时，当且仅当对每个 ，

2. 若 和 都是停时，则

也都是停时。

图 5.2　随机变量 。在时刻 1，事件 尚不能由 识别，因此 不是停时。

定义 5.4　设 是一个停时，则

称为停时 之前确定的事件所组成的 -代数。

注 5.5　 是一个 -代数。直观地说，若 ，则无论停时在哪个时刻发生，在该时刻都已经拥有足够的信息来判断 是否发生。特别地，在事件 上，只允许使用 中的信息。

例 5.6

1. 考虑例 5.2(1) 中的停时 。则

2. 设

随机过程 如图 5.3 所示。

图 5.3　随机过程 及首次越出区间 的停时 。

该过程生成的滤过为

令

约定

则

以及

可以看出， 是停时，因为

而且

3. 设

设

满足

则 是一个停时，并且

引理 5.7　设 是停时，则随机变量

是 -可测的。

证明　对 ，

因为 和 都属于 ，而当 时， 是 的子 -代数，所以

对所有 成立。这说明

因此， 是 -可测的。证毕。

定义 5.8　对于随机过程

和停时 ，停止过程

定义为

定理 5.9　设 是适应过程，并且每个 。则下列命题等价：

1. 是 -鞅；

2. 对任意停时 ，停止过程 是 -鞅；

3. 对任意停时 ，

证明　(1) (2)：由于

并且 ，所以

(2) (3)：由定义，

(3) (1)：对任意 ，考虑停时

于是

再考虑恒等于 的停时

则

比较 (5.1) 与 (5.2)，得到

因此

证毕。

推论 5.10　设 是适应过程，并且对每个 ，。则下列条件等价：

1. 是 -上鞅；
2. 对任意停时 ，停止过程 是 -上鞅。

证明　若

是 的 Doob 分解，则

是 的 Doob 分解。再利用定理 5.9 即得结论。证毕。

练习

1. 证明 是一个 -代数。

5.2　美式索取权

定义 5.11　美式或有索取权是一种可以在时刻 与到期时刻 之间任意允许时刻执行的证券。

定义 5.12　美式或有索取权 的一个执行策略，是一个取值于

的 -可测随机变量 。采用 所得到的收益为

在无预知未来信息的交易规则下，一个可实施的执行策略应当是停时。仅要求 -可测，会允许投资者利用到期时才知道的信息反过来决定较早时刻是否执行，因此后文把执行策略限制在停时集合中。

例 5.13

1. 第 个资产上、执行价格 的美式看跌期权，若在时刻 执行，其收益为

2. 对应的美式看涨期权在时刻 的收益为

注 5.14　美式或有索取权可看作欧式或有索取权的推广。若 是欧式或有索取权，可定义相应的美式索取权 ：

因为到期日 之前执行只能得到 0，所以理性的持有人只会在 时执行。

定义 5.15　过程

称为与 对应的贴现美式索取权。

5.3　无套利价格

记号 5.16　对固定的执行策略 ，记其无套利价格集合为

固定 之后， 就是一个欧式或有索取权，因此其无套利价格可直接用第 4 章的结论刻画。

例 5.17　考虑一个利率 的金融市场，股票价格树如图 5.4 所示：

• ；
• 时刻 1 的价格为 或 ；
• 时刻 2 的价格依次为 ；
• 时刻 3 的价格依次为 。

各期的风险中性分支概率也标在图 5.4 中：第一期两条分支概率均为 ；之后的条件概率依次为 、、、、 和 。

图 5.4　各期的价格过程与等价鞅测度。

等价鞅测度为

令

则

考虑

则

而在 上，时刻 1 的股价为 ，故

因此

也就是说，

上述计算只给出了美式索取权在一个固定执行策略 下的价格。要定义美式索取权本身的无套利价格，还必须允许持有人在所有可实施的停时之间进行选择。

定义 5.18　若实数 满足以下两个条件，则称其为贴现美式索取权 的一个无套利价格。

1. 不能过高：存在某个停时

以及某个 ，使得

2. 不能过低：不存在某个 ，使得对所有

都有

条件 (1) 表示价格 不高于至少一个执行策略所对应的无套利价格；条件 (2) 则排除这样的情形：存在某个执行策略，其所有无套利价格都严格高于 。

记号 5.19　用

表示 的所有无套利价格组成的集合，并定义

注 5.20　 的任意无套利价格 都必须具有如下形式：

其中 ，。因此，对每个 ，

特别地，如果市场模型是完备的，即

那么

是唯一的无套利价格。

定理 5.21　如果对每个 和每个 ，都有

则 的无套利价格集合是一个区间，其两个端点为

以及

此外， 或者只含一个点，或者不包含其上端点 。

因此， 可能具有以下形式之一：

该定理的证明需要最优停时理论以及一个极小极大定理。其核心在于交换

的次序。下例说明端点是否属于 会随市场和索取权而变化；特别地， 不一定属于 ，例 5.24 将给出这种情形。

例 5.22　考虑一个利率 、到期时刻 的市场模型。股票价格树如图 5.5 所示：

• ；
• 时刻 1 的股票价格为 或 ；
• 时刻 2 的股票价格依次为 。

风险中性分支概率为：第一期向上和向下的概率分别为 与 ；第二期从每个节点出发的两条分支概率均为 。

图 5.5　例 5.22 中的股票价格树。

这是一个完备市场模型，其等价鞅测度为

设

其收益树如图 5.6 所示。

收益过程 的各节点取值为：

• 时刻 0：；
• 时刻 1：；
• 时刻 2：。

图 5.6　 的收益树。

不超过 2 的全部停时组成的集合为

其中

下面说明为什么只有这五个停时。在 时，

意味着 只能是 或 。

• 若 ，则 ，即 。
• 若 ，再考察

它只能是

• 给出 ；
• 给出 ，即 ；
• 给出 ；
• 给出 。

各停时对应的期望收益为

所以无套利价格为

即

例 5.23　考虑一个利率 、到期时刻 的市场模型，其股票价格树如图 5.7 所示：

• ；
• 时刻 1 的价格为 或 ；
• 时刻 2 的价格为 。

图中给出了含参数 的风险中性分支概率。

图 5.7　例 5.23 中的股票价格树。

收益

的节点取值为：

• 时刻 0：；
• 时刻 1：；
• 时刻 2：。

图 5.8　例 5.23 中 的收益树。

所有等价鞅测度具有如下形式：

不超过 2 的全部停时仍为

其中

以及

于是

因此

另外，

所以

因此

故

左端点包含在价格区间中，右端点不包含在内。

例 5.24　本例说明 也可能不属于 。

与例 5.22 一样，令

其中

并设

市场模型 在

上是完备的。

现在加入两个外部状态 与 ，把模型扩展为

定义

其中 。滤过为

这个扩展市场是不完备的。例如，定义终端索取权：在所有 上取值 0，在所有 上取值 1。该索取权显然不可达。

所有等价鞅测度组成的集合 包含如下概率测度 ：

其中

1. 考虑贴现美式索取权 ：

如果 ，则

是 下的最优停时，并且

因此

若 ，则

是 下的最优停时，并且

所以

从而

这里下端点 1 可以实现：当 时，最优执行策略为 。

2. 考虑贴现美式索取权 ：

对任意 ，

都是 下的最优停时，而且

因此

即

从而

端点 0 不属于 ，因为等价性要求 ，不能取 。

定义 5.25　如果存在一个停时 和一个自融资策略 ，其价值过程 满足

并且

则称贴现美式索取权 是可达的。交易策略 称为 的一个对冲策略。

如果 可达，那么即使买方完全知道未来价格，卖方也不会遭受超出对冲组合价值的损失。

注 5.26　如果市场模型完备，则每一个美式或有索取权都是可达的。

定理 5.27　设贴现美式索取权 满足：对所有 和所有 ，

则下列条件等价：

1. 可达；
2. 有唯一的无套利价格 ，即

3. 上端点属于无套利价格集合，即

练习

1. 考虑随机过程

其取值如图 5.9 所示。

1. 设样本空间为

  写出过程 $X$ 生成的滤过

2. 设

  写出所有 $i$ 对应的 $T_1(\omega_i)$。$T_1$ 是停时吗？

图 5.9 给出了练习 1 的四期树形随机过程。各层节点值依次为：

• ：；
• ：；
• ：；
• ：。

图 5.9　练习 1 中的随机过程 。

继续练习 1：

3. 求 。
4. 写出随机变量 和停止过程 。
5. 令

写出所有 对应的 。 是停时吗？
6. 求到期日为 2、执行价格为 12 的美式看涨期权的全部无套利价格组成的集合。