15-风险度量

对于一个给定的金融头寸，需要一种方法来比较其风险，并据此决定应当持有多少额外资本。风险度量的目标，就是把随机的未来净值映射为一个实数；这个数可以理解为使该头寸达到可接受程度所需补充的资本。

在投资组合优化中，如果交易策略为 ，其终端财富为

人们可能希望求解

但 是随机变量，不同状态下的大小可能相反，不能直接按通常的实数顺序比较。

例　设

债券价格为

股票初始价格为

而

两个状态的概率均为 。

图 6.1　一期股票价格树。

考虑交易策略

该策略以借入 单位现金购买 股股票，初始价值为 0。终端价值为

在状态 中， 越大越好；在状态 中， 越小越好。因此不存在一个在所有状态上都使 最大的策略。

一种处理随机终端财富的方法，是最大化其期望：

但这样会产生两个问题。

1. 应当在哪个概率测度下取期望？是现实概率 、等价鞅测度 ，还是其他主观概率测度？不同选择可能给出不同结果。
2. 单独使用 是否足以反映投资者偏好？更一般的方法是引入效用函数 ，求解

不同的效用函数可以描述风险中性、风险厌恶或风险偏好。这类问题称为期望效用最优化问题。

然而，仅用期望仍不能充分描述风险。考虑

以及

两者具有相同期望：

但它们显然不是同样的金融头寸：前者确定得到 1，后者具有波动性。期望只给出均值，无法反映这种风险差异。

一种传统方法是用方差度量风险，并结合期望收益进行均值—方差投资组合分析。下面采用更一般的方式，用泛函 为每个金融头寸赋予一个风险数值。

6.1　货币风险度量

考虑可测空间 ，其中 是一个固定的情景集合。这里暂不假设 上已经给定概率测度。

记号 6.1　金融头寸

表示交易期末的贴现净值。用 表示一类金融头寸。

定义 6.2　映射

称为一个货币风险度量，如果对所有 满足：

1. 单调性：若 ，则

2. 现金不变性（平移不变性）：若 ，则

注 6.3

1. 对所有 ，

2. 对任意 ，

这说明 可以解释为：为了把头寸 调整到风险为零，所需加入的确定性现金数额。

注 6.4　有时不失一般性地假设给定的货币风险度量还满足：

3. 规范化：

例 6.5　一个最简单的货币风险度量是

容易验证，它满足定义 6.2 以及规范化条件。

定义 6.6　在概率空间 上，固定

定义置信水平所对应的风险价值为

是需要投入无风险资产的最小资金 ，使新头寸 发生亏损的概率不超过 。

例 6.7　设

若 ，则 。因此

其中 是标准正态分布函数。

引理 6.8　 是一个货币风险度量。

证明

1. 若 ，则对固定的 ，

因此

2. 对固定的 ，

其中 。

3. 显然，

证毕。

引理 6.9　任意货币风险度量 关于上确界范数 都是 Lipschitz 连续的，即

证明　由于

由单调性与现金不变性，

交换 与 的角色，即得结论。证毕。

6.2　一致风险度量与凸风险度量

定义 6.10　若货币风险度量

还满足：

4. 凸性：对 ，

则称 为一个凸风险度量。

注 6.11　若 是规范化的凸风险度量，则

并且

这表示分散或缩小头寸不会按超过线性的速度增加风险。

定义 6.12　若凸风险度量 还满足：

5. 正齐次性：若 ，则

则称 为一个一致风险度量。

注 6.13

1. 若货币风险度量 正齐次，则它自动规范化，即

2. 在正齐次条件下，凸性等价于：

   6. 次可加性：

证明　第一点直接在正齐次性中取 即得。

对于第二点，若 凸且正齐次，取 ，则

反之，正齐次性与次可加性也立即推出凸性。证毕。

例 6.14　定义最坏情形风险度量

是所有可能情景下潜在损失的最小上界。

1. 若 ，则

因此

2. 因为

所以

3. 显然 。
4. 由于

所以 是凸的。
5. 正齐次性显然成立。

因此，最坏情形风险度量 是一致风险度量。

此外，它还是最保守的风险度量：任意规范化货币风险度量 都满足

注意， 还可以表示为

其中

表示 上所有概率测度组成的集合。

例 6.15　风险价值满足正齐次性，但不是凸风险度量。

1. 证明 VaR 正齐次。给定 ，

其中 。

2. 为说明 VaR 不是凸风险度量，只需构造反例。考虑投资于两只可能违约的公司债券。每只债券的收益率为

其中 是无风险投资收益率。对第 只债券投资 后，其贴现净收益为

假设两只债券彼此独立地违约，并且每只债券的违约概率为

于是

而对任何

都有

因此

现在进行分散投资：分别向两只债券投入 ，得到头寸

只要至少一只债券违约， 就为负。并且

取

由于

而对

有

所以

因此

这与凸性条件矛盾，因此 不是凸风险度量。这个例子也揭示了 VaR 的一个重要缺陷：分散化后的组合可能被 VaR 评估为比两个单独头寸的平均风险更高，因而它不能始终正确反映分散化效应。

定义 6.16　对于 和 ，定义水平 的平均风险价值为

平均风险价值有时也称为条件风险价值

或预期损失

注 6.17　 是一个一致风险度量。由于 VaR 满足单调性、现金不变性、规范化和正齐次性，AVaR 也显然满足这些条件。其凸性来自 AVaR 的表示定理，该定理将在第 7.4 节给出。

例 6.18　给定参数 ，定义熵风险度量

则 是凸风险度量，但不是一致风险度量。

证明

1. 若 ，则

从而

2. 对常数 ，

3. 有

4. 对 ，由 Hölder 不等式，

5. 为说明正齐次性不成立，取

则

而

显然，一般有

证毕。

6.3　可接受集

定义 6.19　货币风险度量 诱导出集合

称为 的可接受集。

中的金融头寸之所以称为可接受，是因为它们不需要额外补充资本。下面两个命题总结货币风险度量与其可接受集之间的关系。

命题 6.20　设 是一个货币风险度量，其可接受集为

则：

1. 可以由 恢复 ，即

2. 是凸风险度量，当且仅当 是凸集。
3. 正齐次，当且仅当 是锥。特别地， 是一致风险度量，当且仅当 是凸锥。

证明

1. 由现金不变性，

2. 若 是凸风险度量，并且 ，即

则

因而

所以 是凸集。反向结论将在后面证明。

3. 若 正齐次且 ，则对 ，

因此 ，即 是锥。反向结论同样在后面证明。

命题 6.21　设 是 的一个非空子集，满足

以及

定义泛函

则：

1. 是一个货币风险度量。
2. 若 是凸集，则 是凸风险度量。
3. 若 是锥，则 正齐次。特别地，若 是凸锥，则 是一致风险度量。

证明

1. 首先证明单调性。若 ，由 (6.3) 可知

因而

所以

继续证明命题 6.21。

1. 现金不变性：若 ，则

因此

2. 假设 是凸集。若 ，且 满足

则对 ，由凸性，

因此

对所有允许的 取下确界，得到

3. 若 是锥，则 蕴含

因此，对 ，

若 是凸锥，则 同时满足凸性和正齐次性，因而是一致风险度量。证毕。

现在补全命题 6.20 的反向证明。由 (6.1)、(6.4) 及命题 6.21：

• 若 是凸集，则 是凸风险度量；
• 若 是锥，则 正齐次。

证毕。

在下面的例子中，取 为某个可测空间 上所有有界可测函数组成的线性空间。

例 6.22

1. 考虑例 6.14 中的最坏情形风险度量 。其可接受集为

这显然是一个凸锥。由命题 6.20， 是一致风险度量。

2. 设 是 上的效用函数， 是常数，并且

是一个概率测度。把

作为可接受头寸集合。

1. 显然，条件 (6.2) 成立。
2. 若 、 且 ，则由效用函数的单调性，

  所以 $Y\in\mathcal A$。

若 且 ，则由效用函数的凹性，

因此

说明 是凸集。由命题 6.21，可以用 诱导一个凸风险度量 。

3. 在 上固定概率测度 ，考虑利率 的一期模型。设某资产在时刻 1 的收益为

且

若其时刻 0 的价格为 ，定义相应的贴现净值

Sharpe 比率定义为

假设当 Sharpe 比率不小于某个常数 时，头寸 被视为可接受，即

是一个凸锥，但它不满足 (6.3)。因此，不能直接利用命题 6.21 断言由 (6.4) 定义的泛函是一致风险度量。

事实上，(6.4) 给出的相应泛函为

它具有下列性质：

1. 现金不变性。若 ，则

2. 凸性。因为 是 上的凸泛函，所以 是凸的。
3. 正齐次性。若 ，则

但是， 不是货币风险度量，因为它不满足单调性。

4. 熵风险度量的可接受集，是具有非负指数效用水平的收益集合：

6.4　一致风险度量的稳健表示

记号 6.23　记

以及

显然，

命题 6.24　 是一致风险度量，当且仅当存在

使得对所有 ，

例 6.25

1. 与例 6.5 相同，

其中

2. 对最坏情形风险度量，

其中 。

3. 平均风险价值具有表示

这里， 是所有满足 、且其 Radon–Nikodym 密度几乎必然不超过 的概率测度集合：

记号 表示 关于 绝对连续， 是相应的密度；这些概念将在第 9 章进一步讨论。

6.5　凸风险度量的稳健表示

引理 6.26　设

满足

则

是一个凸风险度量。

记号 6.27　式 (6.5) 中的函数 称为 在 上的惩罚函数。

定理 6.28　 上任意凸风险度量 都可以写成

其中惩罚函数

此外， 是所有满足 (6.5) 的惩罚函数中最小的一个。

注 6.29　一致风险度量的稳健表示是凸风险度量稳健表示的特殊情形。此时的惩罚函数为

因此

恰好退化为命题 6.24 中的一致风险度量表示。