16-连续时间鞅

7.1　随机过程

设 是概率空间， 是一个区间。

定义 7.1　实值随机过程

是 上的一族随机变量

与离散时间情形相比，连续时间随机过程通常需要额外注意样本路径与联合可测性。

注 7.2

1. 可以把随机过程 看成一个二元函数：

2. 固定 后，

是从 到 的函数，称为 的一条样本路径。

3. 固定 后，

是从 到 的随机变量。

定义 7.3

1. 滤过

是一族 -代数，满足对任意 ，若 ，则

2. 若

则称滤过是右连续的。

3. 若 、 且 时必有 ，则称 -代数 是完备的。

4. 若 完备，并且 中每个零测集都包含在每一个 中（等价地，包含在 中），则称滤过 是完备的。

5. 若 右连续且完备，则称它满足通常条件。

在连续时间模型中，右连续性与完备性是处理停时和可测性时常用的正则性条件。右连续性表示时刻 的信息已经包含紧接在 之后所能获得的信息的极限；完备性则保证零概率事件的所有子集均被纳入信息结构。

定义 7.4

1. 若对每个 ，随机变量 都是 -可测的，则称随机过程 关于 适应。

2. 若映射

可测，则称随机过程 是可测的。也就是说，对每个 ，

3. 若对每个 ，映射

可测，则称 关于 是逐步可测的。等价地，对每个 和 ，

属于

注 7.5

1. 任意逐步可测过程都是可测且适应的。
2. 若 可测且适应，则它存在一个逐步可测的修正。
3. 若随机过程 关于 适应，并且每条样本路径都右连续，或者每条样本路径都左连续，则 关于 逐步可测。

这里，随机过程 称为 的一个修正，是指 与 定义在同一概率空间、具有相同参数集 ，并且对所有 ，

定义 7.6　随机变量

称为关于 的停时，如果对所有 ，

在离散时间中，停时也可以等价地用

来定义。但在连续时间中，这两个表述不能不加条件地相互替换。

注 7.7　若 是停时，则对所有 ，

但反命题一般不成立。

证明

1. 对所有 ，

对足够大的 ，

因此 $\{T

2. 反例：考虑滤过

以及随机时间

其中 是 的一个非平凡子集。则：

• 当 时，

• 当 时，

• 当 时，

所以对所有 ，都有 $\{T

因此 不是停时。证毕。

引理 7.8　假设滤过 右连续。则 是停时，当且仅当对所有 ，

证明　“”由注 7.7 得到。

“”：由于对所有 ，

并且当 时，

所以

最后一个等号使用了滤过的右连续性。证毕。

例 7.9　设 （也可取 ），定义 首次到达 的时间为

图 7.1 表示一维路径从初值 首次进入集合 的时刻 。

图 7.1　一维首次到达时间。

图 7.2 表示二维路径从 出发，首次到达区域 的位置 。

图 7.2　二维首次到达时间。

1. 若 右连续， 适应且右连续，并且 是开集，则 是停时。
2. 若 适应且连续，并且 是闭集，则 是停时。

证明　以第一种情形为例。对每个 ，由于 右连续且 是开集，

每个事件

而右端是可数并，因此

由引理 7.8， 是停时。证毕。

定义 7.10　设停时 。随机区间

定义为

类似地定义

定义 7.11　设 是停时，

称为停时 之前确定的事件所组成的 -代数。

图 7.3 以 为例，示意两个随机时刻 、 之间的随机区间。

图 7.3　随机区间的几何表示。

连续时间中的这一定义与离散时间停时 -代数的定义一致，只是时刻集合由有限或可数集合改为连续区间。

引理 7.12　设 是适应且右连续的随机过程， 是停时。则

是 -可测的。

练习

1. 对下列样本空间和概率测度，求最小的完备 -代数。

   1. ，并且

2. ，并且

3. ，且对所有 ，

7.2　一致可积性

定义 7.13　随机变量族

称为一致可积的，如果

一致可积性表示：所有随机变量在尾部的期望质量能够被同一个截断水平一致地控制。

定理 7.14　 一致可积，当且仅当它满足：

1.

2. 对每个 ，存在 ，使得对所有 ，只要 ，就对所有 有

例 7.15

1. 若存在 ，使得对所有 ，

则 一致可积。

证明　由于

所以

最后一步使用了控制收敛定理。因此，

所以该随机变量族一致可积。证毕。

2. 如果对某个 ，

则 一致可积。注意，定理 7.14 中单独的 有界条件并不足够。

证明　有

当 时，右端趋于 0，所以该随机变量族一致可积。证毕。

3. 若 ，则随机变量族

一致可积。

4. 令

并令 为 Lebesgue 测度。对任意 ，可以取 ，于是

因此对所有 ，

所以

因此 不是一致可积的。

5. 考虑一列独立同分布随机变量 ，满足

令

则 不是一致可积的，因为

因而

违反定理 7.14 的必要条件。

7.3　连续时间鞅理论

以下取

定义 7.16

1. 随机过程

称为关于 和 的鞅，如果：

1. 对所有 ，

2. 关于 适应；
3. 对 ，

2. 若前两项成立，并且

则称 为次鞅。

3. 若定义 7.16 的可积性和适应性成立，并且对 ，

则称 为上鞅。

例 7.17　设 ，定义

则 是一个鞅。事实上，它是一个一致可积鞅。

定理 7.18（可选停止定理）

1. 设 是右连续的一致可积鞅， 是满足 的停时。则

并且

2. 设 是右连续的一致可积上鞅， 是满足 的停时。则

并且

定义 7.19　对于随机过程

和停时 ，停止过程

定义为

推论 7.20

1. 若 是右连续的一致可积上鞅， 是停时，则 是右连续的一致可积上鞅。
2. 若 是右连续的一致可积鞅， 是停时，则 是右连续的一致可积鞅。

注 7.21　“一致可积”条件是必要的。例如，令 为简单对称随机游走，并令

则停止过程 不是鞅，因为

这里

其中 是一列 Bernoulli 型随机变量，满足

由例 7.15(5)， 不是一致可积的。这说明如果缺少一致可积性，就不能直接把可选停止定理应用到无界停时。

命题 7.22　设

适应且右连续，并且对每一个满足 的停时 ，都有

则 是一个一致可积鞅。

注 7.23　可选抽样定理还有如下版本。

1. 设

是带有终端元素 的右连续鞅， 是满足 的停时，则

2. 设

是带有终端元素 的右连续上鞅， 是满足 的停时，则

7.4　局部鞅

定义 7.24　适应、右连续随机过程

称为局部鞅，如果存在一列停时 ，满足

并且对每个 ，相应的停止过程

在 下是一个一致可积鞅。原文在 的情形附带写入指标 ；在通常取 的局部化序列时，上述标准写法与之相同。

记号 7.25

注 7.26　每个鞅都是局部鞅。

证明　令 ，则

是鞅，因此 是局部鞅。证毕。

注 7.27　局部鞅不一定是鞅。参见 Karatzas 与 Shreve [19] 第 168 页。

注 7.28　若局部鞅 对每个 都满足

则 是鞅。

证明　不失一般性，设 。令 是一列满足

且 对每个 都是鞅的停时。对 ，

当 时，

而且

所以由 Lebesgue 控制收敛定理，

因此 是鞅。证毕。

命题 7.29　每个非负局部鞅都是上鞅。

证明　设 是满足 且 对每个 都是鞅的局部化停时列。对 ，由条件 Fatou 引理，

所以 是上鞅。证毕。

7.5　Doob–Meyer 分解

先回顾离散时间的 Doob 分解。若 是上鞅，则

其中 是鞅， 是递增的可预见过程，并且该分解唯一。

连续时间中也希望得到类似分解，但需要先给出连续时间“可预见”的定义。离散时间中，可预见性意味着 是 -可测的；在连续时间中，不能简单地把 换成“紧邻 之前”的单个时刻。

定义 7.30　令

1. 由 上所有左连续适应过程生成的 -代数 ，称为可预见 -代数。
2. 若随机过程 关于可预见 -代数 可测，则称 是可预见过程。

注 7.31　可预见性的直观含义是：过程在时刻 的取值可以由 之前的信息确定。所有左连续适应过程都可预见，但可预见过程不一定逐条路径左连续。

注 7.32

1. 每个可预见过程都是适应过程。

2. 每个连续递增过程都是可预见过程。

3. 若滤过 满足通常条件，则每个可预见过程关于

适应。

关于可预见过程的更多性质，可参见 Ph. Protter [24]。

为陈述连续时间 Doob–Meyer 分解，引入如下记号。

记号 7.33

“càdlàg”来自法语 continu à droite, limite à gauche，意为右连续且左极限存在，也记作 RCLL。

定理 7.34（Doob–Meyer 分解）　设

是右连续上鞅，并且随机变量族

一致可积。则 存在唯一分解

其中 是满足 的右连续一致可积鞅， 是满足 的递增、右连续、可预见过程。

推论 7.35　设 且 右连续。则存在唯一的右连续可预见过程

使得

是鞅。

推论成立的原因如下。若 ，由鞅收敛定理，存在 ，使得

由 Jensen 不等式，

所以 是次鞅。还需检验 一致可积；这由 和相应收敛结论得到。对次鞅 应用 Doob–Meyer 分解，即得所需过程。证毕。

定义 7.36　 称为 的二次变差，更准确地也称为可预见二次变差。

如果只在固定有限区间 上考察，则

并且

因此，可以先在每个有限区间上构造二次变差，再通过相容性把这些局部构造拼接成整个 上的过程。这与离散时间中的思路类似；Brownian 运动将在后文给出最重要的连续时间例子。

引理 7.37　设 。对 的分割

记

则当分割网格趋于 0 时，

依概率收敛。也就是说，对任意 、，存在 ，使得

蕴含

定义 7.38　设 。过程

称为 与 的交叉变差或二次协变差。

注 7.39

1.

2.

是鞅。此外，若 右连续，则 是唯一的满足下列条件的过程 ： 右连续、可预见、具有有界变差，，并且 是鞅。

3. 若 且右连续，则存在唯一的递增、右连续、可预见过程 ，以及唯一的右连续、可预见、有界变差过程 ，满足

且

都是局部鞅。

4. 依概率有

练习

1. 设 是滤过概率空间

上相互独立的随机过程，其二次变差分别为

1. 求交叉变差 。

继续练习 1：

2. 求 的二次变差。
3. 求 的二次变差。

2.（16 分）设 是滤过概率空间

上的随机过程，其二次变差分别为

且交叉变差为

1. 求 的二次变差。
2. 求 的二次变差。

7.6　半鞅

为了定义随机积分，需要一类比鞅和局部鞅更广、同时仍保留良好积分性质的随机过程；这就是半鞅。

定义 7.40　适应随机过程

称为半鞅，如果它具有分解

其中 是满足 的局部鞅， 是适应、càdlàg 且具有有界变差的过程。也就是说，存在递增适应过程 、，使得

注 7.41　一般来说，分解 (7.2) 不唯一；但如果 连续，则该分解唯一。

引理 7.42　具有有界变差的连续局部鞅几乎必然为常数。

注 7.43　连续且非常数的局部鞅不可能具有有界变差。

因此，在连续半鞅分解

中，局部鞅部分与有限变差部分在本质上不会发生混淆：如果同一个连续过程存在两种这样的分解，两种局部鞅部分之差既是连续局部鞅，又具有有界变差，所以由引理 7.42，它必为常数；结合初值为 0，即可得到两种分解相同。这解释了注 7.41 中连续情形下的唯一性。