17-布朗运动

第 8 章　布朗运动

布朗运动的发展经历了以下几个重要阶段：

• 1828 年，R. Brown 观察到悬浮在液体中的花粉微粒所做的不规则运动。
• 1905 年，A. Einstein 首次提出了布朗运动的数学理论。
• 1906 年，M. von Smoluchowski 提出了与 Einstein 相同的模型。
• 1923 年，N. Wiener 将布朗运动纳入测度论框架。

8.1　缩放随机游走

为了构造布朗运动，我们从对称随机游走出发。

对称随机游走的构造

连续投掷一枚均匀硬币，假定

其中 表示正面， 表示反面。

连续投掷所得的结果记为

其中 是第 次投掷的结果。样本空间为

令

并假定随机变量序列 相互独立。

定义 8.1

定义

以及

过程 称为对称随机游走。

命题 8.2

随机游走具有独立增量。也就是说，对任意

随机游走的增量

相互独立。

证明。 这是随机变量 相互独立的直接推论。

注 8.3

随机变量

的期望为 ，方差为 。

证明。 因为

并且

所以

且

最后一个等式来自命题 8.2。

定理 8.4

是关于 的鞅。

证明。 因为 相互独立，

因此结论成立。

定义 8.5

固定一个正整数 。当 是整数时，定义缩放对称随机游走

当 时，用线性插值定义 ，即

其中 表示 的整数部分。

换言之，缩放随机游走把原随机游走的空间步长缩放为 ，把时间步长缩放为 ，并在相邻网格点之间作线性连接。图 8.1—图 8.3 给出了示意。

图 8.1： 的一条样本路径。 图中横轴表示离散时刻 ，纵轴表示随机游走的位置。

图 8.2： 的一条样本路径。 此时 在整数时刻与 相同，并在相邻整数时刻之间作线性插值。

图 8.3： 的一条样本路径。 此时空间步长为 ，时间步长为 ，并在相邻网格点之间作线性插值。

命题 8.6

缩放对称随机游走具有独立增量。

证明。 若

满足对所有 ，，则

相互独立。对于某些 的情形，可利用线性插值作类似讨论；细节留作练习。

定理 8.7（中心极限定理）

固定 。当 时，缩放对称随机游走在时刻 的取值 依分布收敛于

8.2　布朗运动

设 是概率空间。

定义 8.8

若随机过程

满足下列条件，则称它为标准布朗运动：

1. ，-几乎处处；

2. 具有独立增量，即对任意

   随机变量

   相互独立；

3. 对 $0\le s

注 8.9

对所有 ，

注 8.10

布朗运动 与缩放对称随机游走 有以下区别：

1. 缩放随机游走具有自然时间步长 ，并且在相邻时间网格点之间为线性函数。

2. 对每个固定的 ，缩放随机游走 的分布只是在 较大时近似正态分布，而布朗运动 的分布严格为正态分布。

引理 8.11

对 ， 与 的协方差为 。更一般地，

证明。 因为

所以 与 的协方差等于

其中使用了布朗运动的独立增量性质。

命题 8.12

布朗运动的 维随机向量

的矩母函数为

证明。 这里只证明 的情形。设

由于

相互独立，所以

定义 8.13

布朗运动的一个滤过，也称布朗滤过，是满足下列条件的一族 -代数

1. 信息累积： 对所有 ，

2. 适应性： 对每个 ， 关于 可测；

3. 与未来增量独立： 对 ，随机变量 与 相互独立。

例 8.14

布朗运动的自然滤过

是布朗滤过。

定理 8.15

布朗运动是鞅。

证明。 对 $0\le s

练习

1. 设 是一维标准布朗运动。判断下列过程 是否为关于 的鞅：

   （a）

   （b）

   （c）

   （d）

   其中 和 是两个相互独立的布朗运动。

2. 设 是一维标准布朗运动。

   （a）固定 ，证明

   是布朗运动。

   （b）设 为常数，证明

   也是布朗运动。

   （c）设 为常数。证明对 $0\le s

8.3　布朗运动的样本路径

定理 8.16

1. 布朗运动存在一个连续版本。[^1]

2. 对几乎所有 ，布朗运动的样本路径 处处不可微。

3. 对几乎所有 ，布朗运动的样本路径 在任何区间上都不是单调的。

4. 对几乎所有 ，布朗运动样本路径 的局部极大值点集合在 中可数且稠密，并且所有局部极大值都是严格局部极大值。

[^1]: 从这里开始，若无特别说明，布朗运动均指具有连续样本路径的版本。定义 8.8 本身并未直接要求样本路径连续。

定理 8.17（重对数律）

对几乎所有 ，有：

1. 当 时，

2. 当 时，

重对数律描述了布朗运动样本路径在 很小以及 很大时的振荡尺度：当 时，边界尺度为

当 时，边界尺度为

图 8.4 和图 8.5 分别画出了相应的正边界函数。

定理 8.18

标准布朗运动的二次变差为

图 8.4：当 很大时，函数 的图像。

图 8.5：当 很小时，函数 的图像。

证明。 下面用两种方法说明布朗运动的二次变差。

方法一。 设

是区间 的一个分割。定义

那么

并且

当 时，由于

相互独立，所以

因此，

由于

所以

当 时成立，其中

因而

也就是说，

再由子列收敛定理，可以从中选出一个几乎处处收敛的子列。

方法二。 断言 是鞅。对 ，

由杜布—迈耶分解，

注 8.19

设

是区间 的一个分割，则

以及

此外，

因此，可以非严格地写成如下微分乘法规则：

8.4　指数鞅

在金融数学中，我们常希望以布朗运动为基础构造始终为正的价格过程。布朗运动本身可以取负值，不能直接保持价格的正性。一个自然的办法是对布朗运动作指数变换。为了说明指数形式的来源，先回顾二项式模型。

图 8.6：二项式模型。 初始价格为 ；一期后价格为 或 ；两期后价格为 、 或 。

假设利率

并令

其中 是正常数，称为波动率。

假定 ，也就是说，截至时刻 ，该模型共有 期。一期模型中的风险中性概率为

以及

这与投掷一枚均匀硬币相同。因此，可以把这个 期模型看成连续投掷 次均匀硬币。

令

并令

显然，

因此，

这说明时刻 的股票价格为

定理 8.20

当 时， 的分布收敛于

的分布，其中

证明。 先证明 的分布收敛于 的分布，即

由泰勒展开，

由定理 8.7，最后一个表达式依分布收敛于

因此 依分布收敛于 。

定义 8.21

设 是关于滤过 的布朗运动，且 。与 对应的指数鞅定义为

这是几何布朗运动的一个特殊情形。

定理 8.22

是鞅。

证明。 对 ，

因为

所以

8.5　 维布朗运动

定义 8.23

若一个 维随机过程

满足：每个坐标过程 都是一维布朗运动，并且

相互独立，则称 为** 维布朗运动**。

注 8.24

维布朗运动是一个 维连续鞅，其交叉变差满足

定理 8.25（Lévy 定理）

设

是关于 的 维连续局部鞅，并且

若

则 是 维布朗运动。

注 8.26

“连续性”这一条件十分重要。例如，补偿泊松过程可以是满足相应二次变差条件的鞅，但它具有跳跃，因而不是布朗运动。

定理 8.27

设 是关于 的实值连续局部鞅，

并且

对每个 ，定义停时

则 是关于 的布朗运动。

注 8.28

设 是从原点出发的 维布朗运动。

1. 若 ，则 会无穷多次到达 。

2. 若 ，则 在时刻 之后不会再次恰好到达原点，但它会到达每一个以原点为中心的开球。

3. 若 ，则当 时，

练习

1. 定义：强度为 的泊松过程，是一个适应的、取整数值的 càdlàg 过程

   其中 càdlàg 表示右连续且左极限存在，并且该过程满足：

   1. 初始条件：

   2. 对 ， 与 相互独立；

   3. 服从均值为 的泊松分布。

   给定强度为 的泊松过程 ，定义补偿泊松过程

   （a）证明 是鞅。

   （b）判断泊松过程

   是鞅、下鞅还是上鞅。

   （c）证明补偿泊松过程 的二次变差为

2. 设 是从原点出发的 维布朗运动， 是常数正交矩阵，即

   证明

   也是布朗运动。