18-随机积分

9.1　关于鞅的随机积分的构造

令

本节的目标是：对鞅 和适当的过程 ，定义随机积分

先回顾 Riemann–Stieltjes 积分：

其中 连续， 具有有界变差，并且

能否用完全相同的方法定义

一般不能。由注 7.43，若 是连续且非常数的局部鞅，则 不具有有界变差。

更重要的是，在随机积分中，区间取样点的位置会改变极限。一般有

左端点、右端点和中点取样会产生不同的随机积分理论。因此，必须先明确采用哪一种离散和极限规则。

在区间 上，常见的三种取样方式为

它们分别对应：

• 左端点 ：Itô 积分；
• 中点 ：Fisk–Stratonovich 积分；
• 右端点 ：后向 Itô 积分。

在金融学中主要采用左端点规则，即 Itô 积分。这是因为 只依赖时刻 已知的信息，能够表示不使用未来信息的交易策略及其损益。

9.1.1　简单过程

记号 9.1　定义

为所有有界可预见简单过程组成的集合。也就是说， 具有形式

其中

并且每个 都有界且是 -可测的。

定义 9.2　对 ，定义随机积分

例 9.3　令

为标准一维 Brownian 运动。

1. 若

则

2. 若

则

3. 若

则

命题 9.4　若 ，则

此外，若 连续，则 也连续，即

并且

证明　先取

则

由于 是 -可测的且 是鞅，

因此

一般的 可以通过截取相应分割区间，以同样方式处理。

再利用 的鞅性质以及不同鞅增量的正交性，

因为 和

都是鞅，

所以

证毕。

记号 9.5　对 $a

引理 9.6　若 ， 是标准 Brownian 运动，则

引理 9.7　若

则

并且

9.1.2　平方可积过程

定理 9.8　设

逐步可测，并且对每个 ，

则存在一列简单过程 ，使得

对每个 成立。

这一定理表明，满足 (9.1) 的逐步可测过程可以在相应的 意义下由简单过程逼近。因而可以先对简单过程定义随机积分，再通过 极限推广。

记号 9.9　对 $0

为所有满足 (9.1) 的有界逐步可测过程组成的类，并定义

在平方可积框架中，“有界”条件可以通过截断进一步放宽；这里先保留它以简化构造。

注 9.10　对任意 ，存在满足 (9.2) 的简单过程列 。由引理 9.6 和 (9.2)，

当 时，

是 中的 Cauchy 列，因此在 中收敛。这个极限用于定义一般 的随机积分。

定义 9.11　设

定义 关于 的随机积分为

其中极限按 意义理解， 是任意满足 (9.2) 的简单过程列。

注 9.12

1. 定义 9.11 与逼近序列的选择无关。设还有另一列简单过程 按 (9.2) 收敛到 。定义交错序列

则 也按 (9.2) 收敛到 ，因此

在 中收敛。于是

2. 如果对 -几乎所有 ，映射

绝对连续，那么当 有界、可测且关于 适应时，

定义良好。

命题 9.13　设

则：

1. 若 关于 适应，则过程

是平方可积鞅。

2. 随机积分具有线性：

3. Itô 等距成立：

4. 对 ，

5. 随机积分的二次变差为

证明

1. 若 是满足 (9.2) 的简单过程，则

又因为

所以 是 -可测的。还需证明

对任意 ，

按 意义，

由 Cauchy–Schwarz 不等式和 (9.2)，

右端当 时趋于 0。对简单过程，增量随机积分的期望为 0，因此

这对所有 成立，从而得到 (9.3)。

命题的 (2)、(3) 可用相同的简单过程逼近方法证明。

4. 对 ，

因此

5. 由 (1) 和 (4)，

所以过程

是鞅。

这正说明其可预见二次变差为

证毕。

推论 9.14　若

是 Brownian 运动，则

原文随后写为 ；该最后一步在 与 具有适当独立性，或积分被取无条件期望时成立，一般条件期望情形应保留上式。

定理 9.15　设

则：

1. 对停时 ，

2. 对停时 ，

3. 对停时 ，

特别地，若 、 为常数，则

4. 若

即对所有 ，

并且

则

而且随机积分的结合规则为

原文的编号从 (4) 直接跳到 (6)，没有给出独立的第 (5) 项。

6. 若

则

等价地，

特别地，若 ，则对所有 ，

命题 9.16（Kunita–Watanabe 不等式）　若

则 -几乎必然有

若把定理 9.8 的平方可积条件 (9.1) 放宽为路径上的局部条件

仍然可以通过局部化定义随机积分，但所得过程一般只是局部鞅。

注 9.17　在条件 (9.4) 下，存在一列简单过程 ，使得

依概率收敛。

但是，过程

一般不是鞅，而只是局部鞅。局部鞅只能在一列递增停时之前表现为真正的鞅。

9.2　关于局部鞅的随机积分

本节利用局部化，把上一节关于平方可积鞅的构造推广到连续局部鞅。

定义 9.18　设

取一列非减停时 ，使得对每个 ，

是鞅，并且

在事件 上，定义

不同 给出的定义在重叠区间上一致，因此拼接成整个时间轴上的随机积分。

定理 9.19　设

则：

1.

是连续局部鞅。

2. 对所有 ，

3.

4. 对停时 ，

注 9.20　若

则下列命题一般不成立：

1.

是真鞅；

2.

3.

局部鞅框架本身不保证相应的无条件期望或条件期望有限，因此不能直接使用平方可积情形的等距关系。若要恢复这些结论，需要加入适当的可积性条件。

9.3　关于半鞅的随机积分

回顾：适应过程

称为半鞅，如果它具有分解

其中

是满足 的局部鞅，

是适应、càdlàg 且具有有界变差的过程。也就是说，存在递增适应过程 ，使得

一般来说，这个分解不唯一。随机积分可以分别对局部鞅部分采用 Itô 积分、对有限变差部分采用 Riemann–Stieltjes 积分，再把两者相加。

注 9.21　若

则

其中第一项是随机积分，第二项是 Riemann–Stieltjes 积分。

为了得到 Itô 公式，需要把第 7 章中关于连续鞅的二次变差和交叉变差推广到一般 càdlàg 半鞅。

设 是 càdlàg 过程， 是 的一列分割。令

定义 9.22

1. 半鞅 的二次变差定义为

2. 半鞅 的交叉变差或二次协变差定义为

注 9.23　如果 是连续鞅，则

且

定理 9.24　设 是半鞅，、 表示其连续局部鞅部分，则

其中

原文定理开头写作“连续半鞅”，但其右端保留跳跃和，且下一条注释才专门讨论连续情形；这里按公式的标准一般半鞅表述翻译。

注 9.25　若 是连续半鞅，则跳跃项消失，并且

推论 9.26　若 是半鞅，，则

9.4　Itô 公式

回顾普通微积分中的链式法则。若 ，则

即

因此

随机积分的链式法则多出一个由二次变差产生的二阶项，这正是 Itô 公式与普通链式法则的根本区别。

定理 9.27（一维连续型 Itô 公式）　设

是 函数，并设

是连续半鞅，其分解为

其中 是局部鞅， 具有有界变差。则 -几乎必然有

注 9.28　式 (9.5) 的微分形式为

其中

是局部鞅，而

具有有界变差。因此，如果 是连续半鞅且 ，那么 仍是半鞅。

定理 9.27 的证明　对分割点 使用 Taylor 展开：

其中

是余项。对所有分割区间求和，得到

由随机积分和 Riemann–Stieltjes 积分的定义，

当分割网格趋于 0 时，余项满足

其中 位于 与 之间。证毕。

注 9.29　若 是连续半鞅，可使用记号

于是

特别地，若 是标准 Brownian 运动，则采用 Itô 运算规则

例 9.30

1. 令 为标准 Brownian 运动，并取

则

也就是说，

2. 设 是标准 Brownian 运动，。考虑指数过程

令

则

对

有

因此

由于

得到

所以 满足随机微分方程

即

换言之，(9.6) 给出的 是 (9.7) 的解。

特别地，若

则

满足

第 10 章将进一步讨论如何利用 Itô 公式求解随机微分方程。

定理 9.31（多维连续局部鞅的 Itô 公式）　设

是 中的局部鞅向量，并设

是 函数。则对所有 ，

这里，例如

表示先对函数 的第 个空间变量求偏导，再在

处取值。

例 9.32　设

是 维 Brownian 运动。考虑

称为 Bessel 过程。令

则

由定理 9.31，

因为

所以

即

定理 9.33（一般形式的 Itô 公式）　设

是 维半鞅，各分量分解为

其中 是局部鞅， 具有有界变差。设

是 函数，则 是半鞅，并且

9.5　分部积分

回顾普通微积分中的分部积分公式：

随机分析中的乘积公式需要额外加入二次协变差项。

例 9.34　计算

令

则

由 Itô 公式，

所以

即

定理 9.35　假设对几乎每个 ， 关于

连续且具有有界变差。则

定理 9.36（分部积分）　设 是连续半鞅，则

证明　在多维 Itô 公式中取

即可。证毕。

注 9.37　式 (9.8) 的微分形式为

这种记号便于形式计算，但必须记住，最后一项代表二次协变差。

注 9.38　若 是一般半鞅，则

特别地，取 ，得到

9.6 鞅表示定理

回顾。 由命题 9.13（1）可知，若 ，且 是布朗运动，则

是一个鞅。

问题。 若 是一个鞅，是否存在 和布朗运动 ，使得

回答。 不一定！下面给出一个相关的反例。

一个最基本的必要条件是 连续。但是，即使 是连续鞅，它是否一定能写成上述形式呢？下面来看一个反例。

例 9.39 设 和 是两个相互独立的布朗运动。令

则 和 都是关于滤子 的鞅。假设存在 ，使得

于是

这显然是矛盾。

定理 9.40（鞅表示定理） 设 是关于 的 维布朗运动，并设 是关于 和 的平方可积鞅。那么，对每个 ，都存在唯一的 ，使得对所有 ，

译注：原页问题中的积分变量印作 ，而同一句同时引入布朗运动 ，且随后反例与定理都讨论对 的积分；按上下文，此处很可能原意为 。定理结论中的常数项原页印作 ，此处均保留原页公式。

注记 9.41 “ 是关于滤子 的鞅”这一条件非常重要！

9.7 测度变换

9.7.1 绝对连续概率测度

定义 9.42 设 和 是可测空间 上的两个概率测度。

（1）如果对任意 ，都有

则称 在 -代数 上关于 绝对连续，记作

（2）如果 与 同时成立，则称 与 等价，记作

定理 9.43（Radon–Nikodym 定理） 在 上关于 绝对连续，当且仅当存在一个非负的 -可测函数 ，使得对所有非负的 -可测函数 ，都有

证明 略。证毕。

注记 9.44 在相差一个零测集的意义下唯一。

定义 9.45 函数 称为 关于 的 Radon–Nikodym 密度或 Radon–Nikodym 导数，记作

记号 9.46 一般地，记

因此，式 (9.9) 意味着

注记 9.47 概率测度 在 上关于 绝对连续，当且仅当存在一个 -可测随机变量 ，使得对所有 ，

例 9.48

（1）设

（i）考虑概率测度

那么 ，其 Radon–Nikodym 密度为

为什么

成立？由注记 9.47，取 ，便有

在离散概率空间中，Radon–Nikodym 密度一般都可以用这种方式求出。

此外，，所以 。再考虑随机变量 ，其取值为

那么

或者，由定理 9.43，

从这个例子可以看出，通过改变概率测度，同一个随机变量的分布可能发生变化。这是测度变换的基本思想：若已知随机变量 在 下的分布，便可以借助 Radon–Nikodym 密度求出 在 下的分布。我们以后会不断使用这种测度变换。

（ii）进一步考虑

那么

但是 ，且其 Radon–Nikodym 密度为

（2）设 ， 为 上所有 Borel 集组成的集合， 是 上的概率测度。考虑 上的标准正态随机变量 ，即在 下

具体地，

在 上定义概率测度 ：

检验： 是一个概率测度。（练习！）

于是 ，其 Radon–Nikodym 密度为

在概率测度 下，

这意味着在 下， 的概率密度函数为

因此，在概率测度 下，

即

译注：若 的第二个参数表示方差，则应有 ；原页印作 ，此处保留原式。

定理 9.49 设 是可测空间 上的概率测度。

（1）若 且 ，则

且

（2）若 ，则

（3）若 ，则

并且

本定理的证明直接利用 Radon–Nikodym 定理的结论。

证明 设 是 上的随机变量。

（1）由积分的线性性，

由 Radon–Nikodym 定理即得所需结论。

（2）连续使用两次测度变换，得到

由 Radon–Nikodym 导数的唯一性，得到所需结果。

（3）由于 ，

这就推出所需结果。证毕。

注记 9.50 条件期望的解释。 考虑 ，对 ，令

显然， 是概率测度，并且 于 。由 Radon–Nikodym 定理，存在唯一的非负 -可测随机变量 ，使得

记

则

因此，

而且条件期望 唯一。

9.7.2 条件期望

命题 9.51 假设 是可测空间 上的两个概率测度，并且 于 ，密度为 。若 是包含于 的一个 -代数，则：

1. 于 ；
2. 相应的密度为

证明 对 ，由注记 9.47，

证毕。

命题 9.52 假设 于 ，密度函数为

且 是另一个 -代数。那么，对任意非负的 -可测随机变量 ，

在测度变换之后，这个公式告诉我们如何用原概率测度下的条件期望，计算新概率测度下的条件期望。

证明 对 ，

因此，

于是得到所需结果。证毕。

9.8 Girsanov 定理

概率测度可以改变随机变量的分布。一般而言，改变测度以后，随机过程的分布也会随之改变。Girsanov 定理说明了一个十分重要的现象：经过适当的测度变换，可以把带漂移的随机过程变成布朗运动。换言之，一个过程在原概率测度下可能不是布朗运动，但在另一个等价概率测度下却可能成为布朗运动。

设 是概率空间， 是满足通常条件的滤子， 是 上的布朗运动。

先来看例 9.48（3）的推广。

例 9.53 设 是 上相互独立的标准正态随机变量，并且对每个 ，。考虑新的概率测度 ：

即

考虑特征函数：

由于

后续计算见下一页。

译注：原页引用写作“例 9.48（3）”，但前文例 9.48 在本节只有（1）与（2）；此处保留原引用。

再利用 在 下相互独立这一事实，可得

因此，在 下，对所有 ，

并且 仍然相互独立（见附录 F）。

那么，随机过程经过测度变换以后会发生什么？

设 是可测且关于 适应的随机过程，并满足：对每个 ，

定义

由例 9.30（2）， 满足

这意味着 是连续局部鞅，且

注意这里对 施加的条件。一般而言，随机过程 未必是真鞅，因此还需要下面的条件。

命题 9.54 若可测、关于 适应的过程 满足：对所有 ，

则式 (9.10) 定义的 是一个鞅。此外，条件 (9.11) 称为 Novikov 条件。

注记 9.55 关于这一条件，有如下几点说明。

（1）如何检验 是鞅？这一点很重要，因为后面要用它来定义新的概率测度。

（2）在上一节中，如果 ，则

是鞅。但为什么这里还需要更强的条件呢？原因是 本身满足

真正需要保证存在并具有鞅性质的是右端含 的积分。

例如，比较条件

与

由 Jensen 不等式，条件 (9.13) 蕴含条件 (9.12)，但反向一般不成立；因此 (9.13) 是更强的可积性条件。

在 上定义测度 ：

注意，只有当 具有适当的鞅性质时， 才是概率测度。换言之，

类似地，可以定义 。

注记 9.56 如果 是鞅，则：

（1） 是概率测度，因为

（2）由鞅性质，对所有 及 ，

定理 9.57（Girsanov 定理） 假设式 (9.10) 定义的

是鞅。定义过程 ：

那么，对每个固定的 ，

是概率空间 上的布朗运动。

这个定理在金融数学中的应用非常重要，特别是它与无套利理论密切相关。回顾离散时间模型：一个无套利金融模型存在风险中性概率测度，也就是等价鞅测度；在该测度下，贴现股票价格是鞅。连续时间模型中的思路相同，但问题更复杂。一个随机过程在某个概率测度下可能不是布朗运动；Girsanov 定理告诉我们，通过适当的等价测度变换，可以使它成为布朗运动，从而构造等价鞅测度。

推论 9.58 在定理 9.57 的相同假设下，假设 是可测函数，且

则

即

译注：原页最后一式右端印作 ，遗漏了函数 ；根据紧邻的积分等式，此处还原为 。

上述推论刻画了测度变换后的分布。

例 9.59

（1）假设

其中 是 中的确定性函数。则随机过程

是鞅。因此，随机过程

关于由

给出的概率测度 是布朗运动。

（2）考虑

则 满足 Novikov 条件，因为对所有 ，

由命题 9.54， 是鞅，因此 满足 Girsanov 定理中的条件。于是

关于概率测度 是布朗运动，其中

注记 9.60 考虑概率空间 上的市场模型 。设 是一个等价鞅测度，并令

那么，对所有 $0\le t

这意味着，对 ，

即

特别地，

也就是说， 是关于 的鞅。

9.9 局部时间

本节介绍另一个重要概念：局部时间。局部时间主要有两方面用途：

1. 描述布朗运动路径在某一水平附近停留的时间；
2. 建立函数 所对应的 Itô 公式。

下面先给出基本定义。

设 是标准布朗运动。定义水平集

它表示对固定样本路径， 恰好位于水平 的所有时刻。则对 -几乎所有 ，

其中 表示 Lebesgue 测度。

换言之，布朗运动路径虽然可能无穷多次经过水平 ，但它恰好等于 的时刻集合具有 Lebesgue 测度零。为了衡量路径在 附近停留了多少时间，需要考察一个很小的邻域，并按邻域宽度作归一化；这正是局部时间的思想。

定义 9.61 对每个固定的 Borel 集 ，定义布朗运动路径截至时刻 在 中的占有时间为

注意， 是一个随机变量。

注记 9.62 随机过程

是适应且连续的。

定义 9.63 定义布朗运动在水平 处的局部时间为

这个定义表示：考察布朗运动 在水平 附近宽度为 的区间内停留的时间，再除以区间宽度，并令 。

注记 9.64 局部时间应当充当占有时间关于 Lebesgue 测度的密度函数，即

注记 9.65 文献中对于究竟把 还是 称为局部时间，并没有统一约定。

不同的局部时间定义可能相差一个常数，因此阅读不同文献时要特别注意其归一化约定。

定理 9.66 布朗运动的局部时间存在；更准确地说，布朗运动的连续局部时间存在。

下面讨论重要的 Tanaka 公式。Tanaka 公式可以看成函数

所对应的 Itô 公式。但由于 （甚至在 处不属于 ），不能直接应用通常的 Itô 公式。

给定 ，令

见图 9.1。原文称 ，并给出

以及

图 9.1 函数 与

横轴上标出 与 。 是在原点具有尖角的 V 形折线； 在区间 内用一段光滑的抛物线替代尖角，并在区间外与 重合。

译注：按上述分段定义， 在 连续，但 在这两点发生跳跃；严格来说，原页“”以及二阶导数在端点处的表述需要按广义 Itô 公式或光滑逼近理解。原页的一阶导数首个条件在 OCR 文本中还原成了 ，但结合第三个分支应为 ，此处据函数定义恢复。

由 Itô 公式，

容易看出，

并且

显然，当 时，

此外，由鞅性质，对所有 ，

再由 Itô 等距，

利用 Fubini 定理以及

得到

当 足够小时，

当 时，该式趋于 。对 作类似论证。又有

因此，当 时，

于是，在

中令 ，各项分别收敛为

以及

因此得到下面的结果。

命题 9.67（Tanaka 公式）

推论 9.68 对固定的 ，

注记 9.69 对每个 Borel 可测函数

都有占有时间公式

注记 9.70 半鞅局部时间可以类似地定义。设

是一个半鞅，则半鞅局部时间 满足

相应的 Tanaka–Meyer 公式为