19-随机微分方程

考虑满足下式的随机过程 ：

问题

（1）能否得到式（10.1）的存在唯一性定理？解具有哪些性质？

（2）怎样求解它？

10.1　例子及若干求解方法

例 10.1　求解

其中初始条件 已给定， 为常数。将方程改写为

可得

由伊藤公式，

在伊藤公式中取

则

因此

也就是说，

结合式（10.3）与式（10.4），得到

所以，式（10.2）的解为

定义 10.2　形如

的随机过程 ，称为几何布朗运动。

注 10.3

（1）如果 与 独立，那么

（2）

1. 如果 ，那么当 时，

2. 如果 ，那么当 时，

3. 如果 ，那么当 时， 将在任意大的值与任意小的值之间波动，且该结论 -几乎处处成立。

例 10.4（赫尔–怀特（Hull–White）利率模型）　考虑

其中 是确定性函数。于是

从而

因此，式（10.5）的解为

例 10.5　考虑随机微分方程

将方程改写为

两边积分，得到

采用与例 10.1 相似的论证：

因此

这意味着

两边关于 积分：

所以

即

对 求导可知，式（10.6）的解为

例 10.6　求解随机微分方程

将它改写成

这种形式与例 10.4 很相似。寻找适当的 ，使得

由分部积分公式，

思路：假设

原文夹注：“这里比较麻烦，只是给出一些思路；计算时必须分成两段来做。”

因此，希望寻找满足

的 。由伊藤公式，

所以

可以取 。于是

把这个结果代入式（10.7），得到

再次使用积分因子。令

则

令

于是

即

因此解为

例 10.7　求解随机微分方程

其中 是白噪声。引入向量

则

所以可以把式（10.8）改写成

其中， 是一维布朗运动，并且

原文接着写为

注：原文在微分号后印有两层 。结合紧随其后的解式，通常会使用 作为积分因子；这里不擅自更改原公式。

解的形式为

只需再算出第一个坐标即可。

10.2　存在唯一性结果

定理 10.8（随机微分方程的存在唯一性定理）　设 ，并设

是可测函数，且满足

其中 是某个常数。

这里

另外，假设

对所有 和 成立，其中 是某个常数。即

设 是一个与

独立的随机变量，并且

那么随机微分方程

存在唯一的关于 连续的解 ，且具有下列性质：

（i） 适应于

（ii）

注 10.9　从下面两个确定性微分方程的简单例子来看，条件（10.9）和（10.10）是很自然的。

（a）考虑

这对应于

它不满足条件（10.9）。该微分方程有唯一解

但在这种情况下不存在全局解。更一般地，条件（10.9）保证解 不会爆炸，也就是说， 不会在有限时间内趋于无穷。

（b）考虑微分方程

方程（10.11）有多个解。对任意 ，函数

都是方程（10.11）的解。

在这种情况下，

在 处不满足条件（10.10）。

10.3　弱解与强解

定义 10.10

（1）在给定概率空间 上，相对于固定的布朗运动 和初值 ，随机微分方程

的一个强解，是一个具有连续样本轨道的随机过程 ，并满足下列性质：

（i） 适应于滤过 ；

（ii）

（iii）对于所有 、 以及 ，

（iv）式（10.12）的积分形式成立：

（2）方程（10.12）的一个弱解是三元组

其中：

（i） 是概率空间， 是由 的子 -代数组成并满足通常条件的滤过。

定义 10.10（续）

（ii）

是连续、适应的 -值过程；

是标准布朗运动；并且满足强解定义（1）中的条件（iii）和（iv）。

按照定义，可以很明显地看出：强解一定是弱解。

注 10.11　有些随机微分方程没有强解，但仍然存在弱解。

例 10.12（田中（Tanaka）方程）　考虑随机微分方程

其中

注意，

不满足利普希茨条件（10.10），所以不能应用定理 10.8。

（1）断言方程（10.13）没有强解。

假设 是方程（10.13）的一个强解。由莱维（Lévy）定理， 是一个布朗运动。此外，

这意味着，由

给出的随机过程 ，相对于 是一个布朗运动。由田中公式，

其中， 是 的局部时。这意味着

这与 是强解相矛盾。

（2）求方程（10.13）的一个弱解。

选取 为一个布朗运动 。定义 ：

也就是说，

于是

因此， 是一个弱解。

10.4　费曼–卡茨（Feynman–Kac）公式

下面讨论的是财务数学中常用的一个定理。

定理 10.13（费曼–卡茨公式）　考虑随机微分方程

设 是博雷尔可测函数。固定 ，并给定 。定义

假设对所有 ，均有

那么 满足偏微分方程

终端条件为

注 10.14　过程

是一个鞅。

定理 10.15（贴现的费曼–卡茨公式）　考虑随机微分方程

设 是博雷尔可测函数， 为常数。固定 ，并给定 。定义

假设对所有 ，均有

那么 满足偏微分方程

终端条件为

注：定理 10.15 的原文在随机微分方程中使用 ，而在期望和偏微分方程中使用 。这里按原文保留这些符号。

在随机分析中讨论的费曼–卡茨定理会更广泛一些，但那种形式非常复杂；这里只介绍与金融有关的形式。

例 10.16　假设 满足随机微分方程

令

那么 满足偏微分方程

终端条件为

这个方程可以用数值方法求解。

注：例 10.16 原文在期望中写作 ，并把终端条件写作 ；这里按原文保留。

定理 10.17（二维费曼–卡茨公式）　设

是二维布朗运动。考虑两个随机微分方程

设 是博雷尔可测函数，定义

那么 与 分别满足偏微分方程

以及

终端条件为