20-第 11 章 一些基本模型

从本章开始，我们讨论连续时间金融数学中的模型。考虑概率空间 上的随机过程 。依照样本路径是否连续，大致可以分成两类，见图 11.1 和图 11.2。

图 11.1 资产定价过程（应用于数学金融）

图中横轴表示时间，纵轴表示价格；曲线是一条连续但不光滑、不断上下波动的价格路径。

图 11.2 跳跃过程（应用于精算数学，有点类似灾害赔偿）

图中横轴表示时间，纵轴表示累计量；样本路径呈阶梯状，在若干随机时刻向上跳跃。

为方便起见，我们这里只考虑价格过程连续的情形。至于带有跳跃的价格过程，本课程不予讨论。

11.1 市场、投资组合与套利

考虑完备概率空间 ，以及其上的布朗运动

一个金融市场包含一种无风险资产（债券），其 时刻价格为 ，以及一种风险资产（股票），其 时刻价格为 。债券价格 满足微分方程

其中 是债券的瞬时利率。因此，

股票价格 满足随机微分方程

其中， 是平均收益率（ 与股票价格向上发展的趋势有关）， 是波动率（ 与股票价格振动幅度有关）。此外， 与 都是适应过程，并满足某些可积性条件。因此，

这是通过求解随机微分方程得到的。

注：原页第一项随机积分的下限印作 ，但按该随机微分方程的解及上下文应为 ，此处据此还原。

注记 11.1

（1）特殊情形：若利率 、平均收益率 、波动率 ，则股票价格为

（2）多维情形：假设有 种风险资产，股票价格向量为

并且 满足随机微分方程组

写成矩阵形式即

或简写为

其中左端按分量理解。

注记 11.2 为什么采用几何布朗运动？

我们在离散时间模型中一直没有谈到股票价格应满足哪些方程。一方面是因为我们没有把模型讨论得太深入；另一方面，在单期模型中这似乎不太重要，而多期模型又没有讲得太多。那么，为什么在连续时间模型中要采用几何布朗运动这一假设呢？一方面是为了便于计算；更重要的是，它来自离散时间模型的某些性质。第 8 章曾经稍作说明，这里用另一种思路再看一次。

考虑一个离散时间模型，其价值（财富）过程为 ，。第 期的收益率定义为

因此，

假设 独立同分布， 的均值为 ，方差为 。

于是

考虑时间间隔

（先前我们取的是 ），此时相应的参数记为 与 。在 时，

当且仅当

此外，由独立性，

它收敛当且仅当

价格应如何理解？如果只有一只股票，可以令 。定义

我们有如下结果。

定理 11.3 若

并且当 时， 的支集收缩到 ，则 的分布弱收敛于几何布朗运动

的分布。

注：原页条件中写作 ，而极限过程使用 ；此处保留原式中的符号差异。

定义 11.4

（1）策略 是一个二维、可测且关于 适应的随机过程，其中 表示 时刻持有的债券份数， 表示 时刻持有的股票份数。¹

（2）策略 在 时刻的价值或财富为

现在来看如何定义自融资。在离散时间中，

这意味着

在连续时间模型中，我们沿用离散时间模型中的定义。不过，为使有关积分存在，还要加入可积性条件。

¹ 在多维情形中，考虑 。

定义 11.5 自融资策略 是满足

以及

的策略。这些条件是为了保证积分存在。

注记 11.6

（1）若 是有界变差过程，则

因为 与 均为有界变差过程，故

因此，自融资条件等价于

这与离散时间的自融资条件相对应。

（2）若 自融资，则相应的财富过程满足

记号 11.7 风险资产的贴现价格定义为

贴现财富过程定义为

定理 11.8 假设交易策略 满足式 (11.1)。那么， 自融资，当且仅当对所有 ，

证明 “” 假设 自融资，则

由于

且

故

“” 由于

所以 自融资。证毕。

在连续时间模型中，与离散时间情形一样，还需要“可容许性”条件。

定义 11.9 若存在 ，使得对于 上几乎所有的 ，都有

则称自融资策略 是可容许的。

可容许性是一个自然且合理的要求：它意味着借款或负财富必须有一个有限下界；同时，它排除了“翻倍策略”。下面将说明翻倍策略在这里如何出现。

定义 11.10 若一个可容许策略 的财富过程 满足

1. ；
2. ，-几乎必然；
3. ，

则称 为一个套利机会。

定义 11.11 不允许套利机会的市场模型称为无套利市场。

以上定义与离散时间中的定义相同。

注记 11.12 “可容许策略”这一条件非常重要，因为它排除了“翻倍策略”（或称“倍增策略”）。离散时间情形已在注记 4.19 中讨论。连续时间情形中，考虑如下市场：对 ，

考虑随机过程

它是一个鞅。于是存在布朗运动 ，使得

其中

注意，当 时，。给定任意 ，定义

由对数律等结论可以看出， 几乎必然。定义交易策略

假设初始财富 ，则

² 可由自融资条件求得。事实上，由自融资性，

于是

因此， 不是可容许策略。

11.2 等价局部鞅测度

定义 11.13 若概率测度 ，并且贴现股票价格 关于 是一个（局部）鞅，则称 为一个等价（局部）鞅测度，也称风险中性测度。

注意：下面的定理与离散时间情形略有不同。

定理 11.14 若在 上存在一个等价局部鞅测度 ，则市场模型无套利。

反过来一般并不成立。实际处理连续时间市场模型时，通常直接假定等价局部鞅测度存在。事实上，还存在刻画得更好的等价结果，但有关概念与证明都相当困难。这里先给出几个定义。在这一节中，我们只考虑简单形式的交易策略。

定义 11.15

（1）若交易策略的贴现收益过程

一致有下界，则称该策略为温和策略（tame strategy）。

此外，由上一页脚注中的自融资等式，

因此，

（2）若存在一个零初始成本的自融资交易策略，它具有非零、非负的终端价值 ，并且存在一列零初始成本的温和自融资交易策略 ，使其终端财富

收敛于 ，且终端价值的负部

在 范数下（一致地）收敛到 ，则称该策略为一个风险消失的免费午餐。

注：原页在极限项中写作 ，而其余终端价值均使用 ；此处保留原页写法。

（3）如果不存在这样的交易策略，就称价格系统满足无风险消失的免费午餐条件（NFLVR）。

定理 11.16 假设 是一个取值于 的局部有界半鞅，则下列陈述等价：

1. 存在等价局部鞅测度 ；
2. 满足无风险消失的免费午餐条件。

这个定理给出了一个等价结果，但该条件较难验证。因此，一般仍使用定理 11.14。在连续时间模型中，我们通常假定等价局部鞅测度存在。那么，如何求出它呢？

问题： 在给定模型中，等价局部鞅测度是什么？

考虑 Black–Scholes 模型。假设市场中有一种债券和一种股票：

其中 都是常数。贴现股票价格 满足

这意味着

在哪个概率测度下， 是鞅？

猜想： 在新的概率测度下，

是一个布朗运动。

由 Girsanov 定理，我们大致可以“猜出”所需的等价局部鞅测度。令

定义

以及

那么，在概率测度 下，随机过程

是布朗运动，并且贴现股票价格满足

也就是说，

此外，股票价格 满足

换言之，在等价局部鞅测度下，

那么，一般模型中的情形如何？

假设市场中有一种债券和 种股票，并满足

类似地，定义

定理 11.17

（1）若市场模型无套利，则存在一个渐进可测过程

称为风险市场价格过程（或相对风险过程），使得

（2）反过来，如果存在这样的过程 ，并且还满足

以及

则市场模型无套利。此外，定义

那么等价局部鞅测度由下式给出：

注：原页右端写作 ，使该定义出现自指；按照通常的测度变换公式一般应为 。此处保留原页公式并说明这一不一致。

11.3 完备性

定义 11.18

（1）若存在一个可容许策略 ，使得

则称或有索赔 是可达到的（或可对冲的）。

（2）如果每一个或有索赔都是可达到的，则称金融市场是完备的；否则称其为不完备的。

注：原页复制条件写在 时刻；在通常的终端索赔定义中，这里往往写作 。

定理 11.19 在注记 “??(2)” 的设定下，市场模型完备，当且仅当：

1. ；
2. 对几乎所有 ， 非奇异。

注：原页交叉引用本身印作 “Remark ??(2)”。

注记 11.20 由定理 11.19，如果市场模型完备，则只有唯一一个过程 满足

即

其中

定理 11.21（元定理） 设 是模型中除无风险资产以外的标的资产数， 是随机源的个数。一般而言，有如下关系：

1. 模型无套利，当且仅当 ；
2. 模型完备，当且仅当 ；
3. 模型既完备又无套利，当且仅当 。因此，模型不完备，当且仅当 $m

定理 11.22（资产定价第二基本定理） 考虑一个具有风险中性概率测度的市场模型。该市场模型完备，当且仅当风险中性概率测度唯一。

最典型的例子是 Black–Scholes 模型。考虑广义 Black–Scholes 模型：市场中有一种债券和一种股票。债券价格满足

股票价格满足

其中，对所有 ，都有 ，并且 是确定性常数。

定理 11.23 广义 Black–Scholes 模型是完备的。

这个定理很难证明。对于一般或有索赔，上述定理的证明并不容易。下面只考察 时的对冲策略。

11.4 可达到或有索赔的定价

考虑概率空间 上的一个可达到或有索赔 。那么存在一个可容许策略 ，使得

这意味着

注记 11.24 假设金融市场模型中存在一个等价鞅测度 。那么 在 下是鞅，而 在 下也是鞅，即

于是

即

这就是连续时间模型中的风险中性定价公式。

命题 11.25 在 Black–Scholes 模型中，每一个可交易资产的价格过程 都具有如下性质：贴现价格过程

在等价鞅测度 下是一个鞅。特别地，或有索赔 在 时刻的价格为

注记 11.26 由贴现 Feynman–Kac 公式（定理 10.15），或有索赔

在 时刻的价格 满足偏微分方程

终端条件为 。

注记 11.27 在不完备市场模型中，所有无套利价格构成的集合为

其中 是所有等价局部鞅测度构成的集合。

11.5 Black–Scholes–Merton 公式

考虑具有一种债券和一种股票的模型，它们满足

在等价鞅测度 下， 与 满足

其中 是关于 的布朗运动。股票价格为

定理 11.28（Black–Scholes（–Merton）公式） 欧式看涨期权 在 时刻的价格为

其中 是标准正态随机变量的累积分布函数，即

并且

注：本页指数与 中印作 ，而后文推导和标准公式均使用 。此处保留本页原式，并标明这一符号不一致。

在证明上述定理之前，先介绍对数正态分布。

定义 11.29 若 服从正态分布，则称随机变量 服从对数正态分布。

注记 11.30 假设 服从对数正态分布，则存在随机变量

使得 。

（1）矩。 令 ，则

因此，

且

（2）概率密度函数。 对 ，

因此， 的概率密度函数为

（3）对 ，

原页写道： 当且仅当

注：上述不等号方向与随后从 积分到 的推导不一致；按代数关系应为 。此处保留并说明原页的印刷问题。

因此，

定理 11.28 的证明 这里只证明 的情形。由命题 11.25， 时的价格为

在注记 11.30（3）中取 、方差为 ，得到

其中使用了

证毕。

注：原页倒数第二组公式把对数项写作 ，但按上一行变号及定理中 的定义应为 ；此处保留原页公式并指出这一不一致。

11.6 希腊字母

设

其中 是某个函数。事实上，

其中

与内在价值 之间的关系见图 11.3；时间价值见图 11.4。

图 11.3 与 的关系

横轴为股票价格 ，在 处标出执行价。折线 在 时为零，在 时线性上升；期权价格曲线 是位于其上方的光滑凸曲线。图中依次标出：

• $x
• ：平价（at the money）；
• ：价内（in the money）。

期权价格与内在价值之间的竖直差距是时间价值；在价内区域，总价值分为内在价值和时间价值两部分。

由 Jensen 不等式可得

• Delta：

图 11.4 时间价值

横轴为 ，在 处画出竖直虚线。时间价值曲线从接近 开始上升，在执行价 附近达到峰值，随后下降并再次趋近 。

由于

并且

所以

又因为

得到

这说明 随 增大而增大。Delta 的图像见图 11.5。

• Gamma：

这说明 是严格凸的。 与 的关系见图 11.6。

图 11.5 Delta

横轴为 ，纵轴为 Delta。曲线在价格较低时接近 ，在执行价附近迅速上升，之后趋近于水平虚线 。

图 11.6 Gamma

横轴为剩余期限 ，纵轴为 Gamma。图中分别画出价外、平价和价内三条曲线：平价曲线在短期限处最高并随期限下降；价外曲线先上升至峰值再下降；价内曲线峰值较低且更靠近短期限一侧，随后迅速下降。

• Theta：

这说明看涨期权的价格随 增大而下降（离到期日越近，价格越低）。此外，当 时，

因为 。 的图像见图 11.7。

图 11.7 Theta

横轴为 ，纵轴为 。曲线始于接近 的负值，向下形成一个较深的谷底，然后回升，并从下方趋近水平虚线

• Vega：

这说明期权价格随波动率 增大而增大。

• Rho：

这说明期权价格随利率 增大而增大。

11.7 平价关系

考虑标准 Black–Scholes 模型。

记号 11.31 假设 是到期日为 的或有索赔，且

将 在 时刻的价格记为 ，并称 为 的合约函数。

例 11.32 考虑如下几个基本合约函数：

相应的价格为

定理 11.33 设 和 分别是

的合约函数。则对任意 ，有价格关系

推论 11.34 若 是基本合约的线性组合，即

则可以按下式为 定价：

例 11.35 考虑执行价为 的欧式看跌期权，其合约函数为

由于

即

所以

由推论 11.32，得到

注：原页交叉引用写作“推论 11.32”，但本章相应的推论编号为 11.34；此处保留原页所写编号。

公式 (11.2) 称为看跌—看涨平价关系。看跌期权的收益函数 与价格 的关系见图 11.8，时间价值见图 11.9。

有些书会把时间价值总是画成正值，大致有三个原因：

• 利率 ；
• 讨论的是美式看跌期权；
• 图形并非从原点开始画。

图 11.8 看跌期权的价格

横轴表示标的资产价格。紫色折线从纵轴上的正值出发，线性下降至横轴后保持为零，表示看跌期权的到期收益；图中标签印作 。橙色的看跌期权价格曲线从

附近开始，平滑下降并趋近于零。在较小的 区域，橙色价格曲线位于紫色收益折线下方；在执行价附近两者相交，之后价格曲线位于横轴上方。

注：看跌期权的收益函数在正文中定义为 ，而图中的紫色标签印作 ，两者不一致。

图 11.9 时间价值

横轴表示标的资产价格，在 处画有竖直虚线。红色曲线在低价格区域位于横轴下方，随后上升穿过横轴，在执行价 处形成尖峰；之后逐渐下降，并从上方趋近于横轴。该图说明在本页所采用的看跌期权与利率设定下，时间价值并不必然处处为正。