21-对冲

在金融学中，对冲策略（hedging strategy）指的就是复制策略（replicating strategy）。本章讨论如下问题：对于一个可达的或可复制的索取权 ，如何求出一个自融资交易策略 ，使得

这里， 表示无风险资产的价格， 表示风险资产的价格； 和 分别表示在时刻 持有的无风险资产和风险资产的单位数。

12.1　简单或有索取权

考虑广义 Black–Scholes 市场中的一个简单或有索取权

假设该索取权在时刻 的价格可写成

其中 是一个充分光滑的函数。

由 Itô 公式，

其中

并且

我们的目标是寻找一个自融资交易策略，使其价值过程

满足 。由于该策略是自融资的，

比较 与 中的扩散项和漂移项，得到

以及

因此

并且

相应地，定价函数 满足偏微分方程

注 12.1　上述方法适用于诸如欧式看涨期权

以及远期合约

这样的简单或有索取权。然而，并非所有索取权都只依赖于终值 。例如，亚式期权

和回望期权

都依赖于标的资产价格的整条路径。

12.2　Delta 对冲与 Gamma 对冲

定义 12.2　如果一个投资组合对于某个希腊字母所代表的风险敏感度为零，就称该投资组合关于这个希腊字母是中性的。例如，Delta 为零的投资组合称为 Delta 中性；Gamma 为零的投资组合称为 Gamma 中性。

现在考虑一个价值为

的头寸。我们的目标是使其不受标的资产价格小幅变化的影响。如果

那么该头寸本身已经是 Delta 中性的，无需采取进一步措施。

若 ，则不必将原头寸全部卖出；可以向投资组合中加入另一种衍生品，其价格记为 。设新投资组合的价值为

选择 ，使得

记

Delta 中性条件为

所以

注 12.3　如果加入投资组合的是标的资产本身，即 ，那么

因此，Delta 给出了为了对冲原有衍生品头寸而需要持有的标的资产单位数。

在真实市场中，Delta 对冲只能在离散时点重新调整。调整得越频繁，通常对冲效果越好；但频繁交易也会带来更高的交易成本。

Gamma

衡量 Delta 对标的资产价格变化的敏感程度。当 Gamma 较高时，标的价格稍有变化，Delta 就会明显改变，因此需要频繁地重新平衡 Delta 对冲头寸；当 Gamma 较低时，现有的 Delta 对冲可以维持较长时间。

若希望投资组合同时达到 Delta 中性和 Gamma 中性，可以使用两种衍生品 与 。令

Delta 中性和 Gamma 中性条件分别为

解这个线性方程组可得

以及

引理 12.4　对于标的资产本身，

注 12.5　若 ，即第一种用于对冲的资产就是标的资产，则

而

这里 表示标的资产的持有单位数， 表示衍生品 的持有单位数。

12.3　超对冲

在完备市场中，每一个或有索取权都是可达的，因而都能被精确对冲。在不完备市场中，某些索取权不可达，此时无法构造完全复制该索取权的交易策略。

定义 12.6

1. 对于一个可达索取权 ，其对冲价格是能够通过某个可行策略在到期时得到 所需的最小初始财富。
2. 若一个可接受交易策略的到期价值 满足

则称该策略是 的一个超对冲策略。
3. 的超对冲价格是能够构造 的超对冲策略所需的最小初始资金。

例 12.7　在标准 Black–Scholes 模型中，欧式看涨期权的复制策略为

其中

这里

又有

以及

因此，该看涨期权的对冲策略为

在初始时刻 ，

相应的对冲价格为

它也正是该期权的价格。

应当注意，超对冲价格给出了索取权无套利价格的一个上界，因此也是一个与市场一致的价格上界。

记号 12.8　用 表示所有可接受策略 的集合。相应的贴现财富过程为

并且存在某个常数 ，使得对所有 都有

定义 12.9　若

等价地，

则称 是 的一个超对冲策略。 的超对冲价格定义为

定理 12.10（超对冲定理）　设 是所有等价局部鞅测度的集合，则

对应于最小初始财富的价值过程满足

在不完备市场中，超对冲的成本可能过高。为了降低对冲成本，可以不再要求对冲策略在所有情形下都完全成功，而改为控制对冲成功的概率；这就引出了分位数对冲。关于超对冲，可参见 Luciano Campi [5]、N. El Karoui 与 M.-C. Quenez [14] 以及 D. O. Kramkov [26]。

12.4　分位数对冲

超对冲能够提供完全保护，但可能需要很高的初始资金。分位数对冲放弃百分之百成功的要求，以换取更低的对冲成本。关于这一方法，可参见 H. Föllmer 与 P. Leukert [16]。

先考虑一个完备市场。设索取权 是可达的，并假设 ；在一般情形下，可将 理解为贴现索取权 。于是

在唯一等价鞅测度 下，其贴现价格过程为

因此，完全对冲所需的初始资金为

现在假设可用的初始资金只有 $\overline V_0

定义 12.11　事件

称为该对冲策略的成功集。

命题 12.12　设 是下列问题的一个解：

令 是敲出型索取权

的完全对冲策略。则 是问题 (12.2) 的解，而且其成功集几乎必然等于 。

分位数对冲也可以用另一种方式表述。给定允许的失败概率 ，寻找

例 12.13　考虑 Black–Scholes 模型，参数为

不同失败概率 下，分位数对冲所需初始资金与完全对冲价格之比 如下：

这说明，只要容许一个较小的对冲失败概率，所需的初始资金就可能显著下降。