22-波动率

在 Black–Scholes 模型中，一个重要假设是波动率

但在真实市场中，波动率并非常数，而会呈现所谓的波动率微笑
（volatility smile）。

长期观察到的波动率微笑形态是：平值期权（at the money）的隐含波动率通常低于实值期权或虚值期权的隐含波动率。

图 13.1 的横轴为执行价格 ，纵轴为隐含波动率；曲线呈中间低、两端高的微笑形状。

图 13.1　波动率微笑

因此，尽管标准模型把波动率视为常数，实务中仍需要更细致地刻画它。常见的波动率概念包括：

• 历史波动率（historical volatility）；
• 隐含波动率（implied volatility）。

13.1　历史波动率

历史波动率是衡量价格随时间波动程度的指标。

假设股票价格服从标准 Black–Scholes 模型，并在
个等距离散时点

观测股票价格

令

并定义随机变量

由 Black–Scholes 模型的显式解，

所以

因此

且

于是可用样本方差估计波动率：

样本方差为

因为

所以

13.2　隐含波动率

参考文献：Dupire [12]、[13]。

基本思想如下。标准 Black–Scholes 模型为

现在考虑一个包含一只债券和一只股票的更一般模型：

由无套利论证，在等价鞅测度 下，股票价格满足

其中 是相对于 的标准 Brownian 运动。因此瞬时波动率为

问题　已知期权价格 ，怎样求 ？

在等价鞅测度 下，执行价格为 、到期日为 的欧式看涨期权在时刻
的价格为

设 在 下的密度函数为 ，则

对执行价格变量求两次导数，得到

这个恒等式并不依赖于标准 Black–Scholes 模型的常波动率假设。

下面假设利率

在等价鞅测度 下，

由 Fokker–Planck 方程（也称前向 Kolmogorov 方程），

结合 (13.1)，

关于 积分两次，得到

利用边界条件

并进一步假设

可得

因此

于是

而局部波动率为