01-sigma-代数与条件期望

课程安排

1. 讲授课：讲解新主题。
2. 常规习题课：继续涉及新主题。
3. 补习课：不讲新主题。

学习管理系统（LMS）：wiki.cs.hse.ru，其中收集了往年考试题。

参考书：

• 扎斯塔夫尼亚克：《基础随机过程》；
• 斯蒂尔：《随机微积分及其金融应用》；
• 什里夫，两卷本《金融随机微积分》。

-代数

目标：把“信息”描述成一个数学对象。

考虑随机变量 和 的联合分布：

这里六个基本结果记为 。

• 爱丽丝知道 ；
• 鲍勃知道 ；
• 克劳德同时知道 。

直观定义. -代数是一个“事件列表”，其中列出了一个理性的人在现有信息下能够判断真假的所有事件。

例如，爱丽丝能够判断

因此

由于 只取 ，还有

鲍勃能够判断所有只由 决定的事件，所以

用基本结果表示，其中例如

图中橙色方框说明： 就是参与者能够回答的一组问题；记号上， 表示一个事件， 表示事件的列表。

六个基本结果为

事件是基本结果组成的集合。例如

另外，

-代数就是一个事件集合。

克劳德知道 ，因而能区分全部六个基本结果。他的信息包含所有可能的事件：

图示比较了三个人的信息：

• 爱丽丝只能区分两组 与 ，故有 个事件；
• 鲍勃先按 分组，三个二元选择产生 个事件；例如
  
• 克劳德能逐个区分 ，故有 个事件。

直观的形式定义. 若 ，那么使用可数多步的并、交、差等集合运算构造出的任何事件 仍应属于 ；同时

标准形式定义. 事件族 称为 -代数，如果：

1. ；
2. 若 ，则
   
3. 若 ，则
   

由这些条件也可得到对可数交的封闭性。例如，德摩根律给出

原图用两个相交圆及其外部阴影表示这一恒等式。

-代数的并与交

例. 设 是同一个样本空间 上的两个 -代数。

1. 一般不是 -代数；
2. 是 -代数。

注意，普通集合的并满足

以前页的例子为例，

而

于是

它满足 -代数的三条条件。

另一方面，

虽然包含 与 ，却不包含

所以 对并运算不封闭，不是 -代数。

现在证明交集 的结论：

1. 因为 且 ，所以
   
2. 若 ，则 且 。两个 -代数都对补集封闭，故
   从而 。
3. 若 ，则这些集合同时属于 和 ，所以
   因此
   

常规习题课 1：条件期望

将逐步讨论三种条件期望：

其中 是随机变量， 是事件， 是 -代数。通常把

理解为

非正式定义.

是在已知 所含信息时，对 的最佳预测。

思想 1. 中的信息必须足以算出这个预测。

如果对每个实数 ，事件

那么可以利用 中的信息把随机变量 与任意实数比较，从而算出 。

定义. 若对所有 都有

则称随机变量 关于 可测。

记号

表示包含全部事件 的最小 -代数。

在前面的 例子中，

因此

类似地，

而

是同时包含 与 中全部事件的最小 -代数。

是在给定 中信息时对 的最佳预测。记

假设 1（预测可计算）.

也就是说， 关于 可测； 是包含所有

的最小 -代数。

假设 2.1（无偏性）.

这表达了“最佳预测”的平均值应当正确。

假设 2.2（无法预测误差）. 对每个 ，

也就是说，利用 中的任何事件都不能预测该预测误差。

定义. 满足：

1. ；
2. ；
3. 对所有 ，
   

后两个条件也常合写为

例. 样本空间由三个结果 组成：

给定

由于 必须关于 可测，图中的分组说明

因此 的形式为

由无偏性，

又由

可改写为

或者

对 ，

对 ，相应等式在下一页继续计算。

对于 ，

对于 ，

这就是前述无偏性条件。

本例的方程组可写为

因此

而

所以

也可以写成

定理. 若

并且 是包含 的最小 -代数，即

那么

原图把 画成一个被 分割的圆。

52 张扑克牌的例子. 讲义旁注指向“第 65 页第 4 题”。令

需要依次考虑

直至

记号上，

是一个随机变量；按 的取值，它等于两个不同的实数：

若第一张牌是皇后，则剩余 张牌中有 张皇后，因此

若第一张牌不是皇后，则

所以

进一步，

并且

有四个基本分区块，因而包含

个事件。原图用被四条情形分割的圆表示这一点。

定理 2. 若 具有联合密度 ，则

注意：

• 是常数；
• 是常数，其中 是事件；
• 是随机变量；
• 是常数，且
  

定义（条件方差）.

因为

定义条件概率为

它本身是一个随机变量。

条件期望的性质：

1. 线性性：
   
2. 若 关于 可测，则
   这称为“把已知量提出条件期望号外”。

条件期望的性质（续）：

3. 全期望公式：
   直观上说，“平均而言预测是正确的”。
4. 若 ，则
   
5. 若随机变量 与 独立，则
   

这里“ 与 独立”的定义是：对所有

都有

补习课 1

再次考虑六个基本结果：

全集为

由定义，

包含对每个 的事件 ，并且是具有这一性质的最小 -代数。例如，按 取值，只会产生

等由 的取值决定的事件。因此

旁注还给出

作为“随机变量生成信息”的例子。

条件期望的定义再次写成：若

则

1. ；
2. ；
3. 对所有 ，
   

本页最后给出的信息族为

并特别指出

补考题：首次出现正面

旁注：2016 年 2 月 15 日补考，第 46 页，第 1 题。

独立重复投掷一枚公平硬币。定义

并令 为第一次出现正面的投掷编号。

需要计算

首先，

若 ，第一次已经为正面，第二次仍是独立的公平投掷，故

若 ，已知前两次依次为反面、正面，所以

若 ，则第二次必为反面，故

因此

或者写成

接下来，

当 时，

本页底部用级数错位相减的方法开始求 ，计算在下一页完成。

由上一页的级数运算，

另一方面，当 时， 只能为 或 ，且两者条件概率均为 ，所以

因此

也可以写成

最后，

当 时，

即参数为 的伯努利分布，所以

当 时，；当 时，。后两种情形中 都是常数，所以条件方差为零。于是

这里也利用了

因而

二维正态分布题

旁注：2013 年 2 月 8 日补考，第 20 页，第 1 题。

设 联合服从正态分布，并且

要求计算

以及

条件密度由

给出。

联合正态密度写成矩阵形式为

而边缘分布满足

协方差矩阵为