06-风险价值（VaR）模型

风险价值（Value at Risk，VaR）模型

风险管理的使命是：

1. 确保管理层充分了解银行的风险状况；
2. 保护银行，避免由于风险过度集中而遭受不可接受的巨额损失；
3. 换句话说：不要出现意外。

可以用两个类比来理解风险管理：

• 聚光灯： 把隐藏的风险照亮，让管理层看清风险集中在哪里；
• 填色书： 把不同种类和程度的风险用清晰类别标示出来，从而形成完整的风险图谱。

本部分介绍 VaR 的主要计算方法、输入变量以及从单项资产到投资组合的推广。

本讲将讨论：

• 单项资产 VaR 示例；
• 基于价格的金融工具；
• 基于收益率的金融工具；
• 方差—协方差法；
• Monte Carlo 模拟；
• 历史模拟。

风险计量需要考虑：

1. 利率敏感度：久期、PV01；
2. 股票敞口；
3. 大宗商品敞口；
4. 信用风险：信用利差久期；
5. 价格行为的概率分布与线性程度；
6. 现金流或提前偿付的规律性；
7. 不同行业和资产类别之间的相关性。

VaR 的目标是估计可能结果分布中最差的那一小部分。本讲以 99% 置信水平为例：

我们希望估计所有可能结果中最差的 1%。

图中横轴表示收益或损益，纵轴表示发生频率或概率密度。VaR 位于分布左尾，用一个损失阈值概括极端但并非最极端的市场风险。

若损失变量记为 ，置信水平为 ，则 VaR 可写为满足下式的分位点：

考虑一条时间序列，例如墨西哥 IPC 股票指数。讲义列出部分数据：

日期	IPC
1995-01-02	2354.24
1995-01-03	2278.47
1995-01-04	2261.73
1995-01-05	2273.10
1996-12-25	3298.47
1996-12-26	3310.89
1996-12-27	3327.20
1996-12-30	3346.95
1996-12-31	3361.03

原图展示 1995 年初至 1996 年末 IPC 指数的走势，大致由 2000 点附近上升至 3300 点以上，中间伴随明显波动。

我们希望知道该市场可能向不利方向移动多少，从而判断支持当前头寸需要准备多少资本。

• 大多数金融时间序列表现得近似随机游走。这意味着，在许多简单模型中，对明日水平的最佳估计就是今日水平。
• 随机游走没有固定上下界。如果只研究价格或指数的绝对水平，就很难预测未来路径。
• 讲义给出的 1995—1996 年 IPC 指数水平频数分布跨度很大、形状不稳定，说明直接对“水平”建模并不方便。

因此，风险模型通常从价格水平转向收益率。

考虑同一时期的 IPC 收益率，将收益率定义为指数的百分比变化：

原图展示收益率的频数分布，横轴约从 到 。与指数水平的分布相比，收益率集中在 0 附近，呈现更熟悉的钟形轮廓。

这种相对稳定的分布形态使我们可以用方差、标准差及分位数来衡量风险。

得到收益率时间序列后，可以用方差衡量其离散程度：

1. 从每个收益率中减去平均收益率；
2. 将所得偏差平方；
3. 对所有平方偏差求和；
4. 再除以观测数量或自由度。

方差的平方根称为标准差，也称波动率，可用于估计风险。

在正态分布假设下：

• 倍标准差对应单侧 99% 分位点；
• 倍标准差对应单侧 95% 分位点。

所以，若均值相对波动率可忽略，99% 单侧损失阈值近似为

样本方差为

样本标准差为

讲义提到的 Excel 函数为 VAR() 和 STDEV()；现代 Excel 中常根据总体或样本口径分别使用 VAR.P()、VAR.S()、STDEV.P() 与 STDEV.S()。

1995 年 1 月至 1996 年 12 月 IPC 日收益率的样本统计量为：

• 方差：
  
• 标准差：
  

在正态分布和 99% 单侧置信水平下：

由此可以认为：在约 99% 的交易日里，单日损失不会超过头寸价值的 4.1968%。

这意味着，对 IPC 投资 100 墨西哥比索（MXP）时：

• 单日损失超过约 4.2 MXP 的情况，理论上只应约占 1%；
• 实际上，自 1995 年 1 月 1 日以来，IPC 有 8 次跌幅超过 4.2%，约占 1.5%。

尽管估计大致准确，这也揭示了 VaR 在某些市场中的问题：它有时会低估大幅市场波动出现的频率。

这种问题在单一证券或单个交易台层面较常见；在充分分散的投资组合层面，可能因风险分散而有所减弱。不过是否“消失”仍取决于尾部相关性和市场压力状态。

单项资产 VaR 的基本步骤：

1. 收集价格数据；
2. 构造收益率序列；
3. 估计收益率序列的方差；
4. 对方差开平方，得到波动率或标准差；
5. 将波动率乘以 和头寸规模，得到 99% 置信水平的最坏损失估计：
   

多头与空头

符号很重要：

• 对股票头寸较直观；
• 对外汇头寸必须先明确以哪种货币为计价货币，以及持有的是哪一边的多头或空头。

单侧与双侧置信区间

VaR 关注损失尾部，通常使用单侧分位数。不能误用双侧置信区间的临界值。

错误数据

价格错误、漏值、拆股和币种换算错误都可能扭曲收益率与波动率估计。

百分比变化与对数变化

简单收益率为

对数收益率为

小幅波动时二者接近，但在大幅波动或多期复合时存在区别。

固定收益工具需要对上述方法作出调整。

原因在于：

• 市场通常容易取得的是债券收益率时间序列；
• 但风险管理真正关心的是债券价格的变化。

因此需要：

1. 用基点表示收益率波动；
2. 用收益率变动 1 个基点时头寸价值的变化，表示价格敏感度。

这种敏感度通常称为 PV01 或 DV01。

股票、外汇和大宗商品

若 是价格百分比变化的波动率，则

95% 置信水平时把 换成 。

固定收益

若收益率波动率以百分比变化计量，可先把它转为基点变化，再乘以 PV01：

其中：

• 表示收益率变动 1 bp 时头寸价值的变化；
• 把收益率的百分比波动转为基点波动；
• 必须确保收益率、百分数、基点和头寸面值的单位一致。

考虑面值 100 美元的 10 年期美国国债头寸：

• 自 2003 年 1 月 1 日以来，美国国债收益率百分比变化的波动率为 1.312%；
• DV01 定义为：在给定基准日收益率时，收益率上升 1 个基点所导致的价格变化；
• 也可以用久期近似这一敏感度。

原幻灯片同时出现“自 2003 年以来”和“1996 年 12 月 31 日收益率”的不同日期口径；译文按原文保留，实际计算时应统一数据日期。

讲义给出的债券价格为：

• 收益率为 4.644% 时，价格为 100；
• 收益率为 4.654% 时，价格为 99.92077。

收益率上升

因此每 100 美元面值的价格变化为

通常把 DV01 报告为变化的绝对金额：

这种敏感度会随收益率水平变化，但对于较小的收益率变动，它通常是良好的一阶近似。

• 久期衡量证券现金流到达时间的加权平均，权重与各期现金流的现值有关；
• 修正久期还能表示收益率变化引起的价格百分比变化：
  
• DV01 给出类似的敏感度，但通常按收益率变动 1 bp、每 100 万面值或某一实际头寸规模报告；
• 债券交易员习惯使用 DV01，投资组合经理更常使用久期；
• 两种指标都有效，但必须特别注意单位。

单位混淆是固定收益风险计算中最容易出现的错误之一。

在美国国债示例中，可以使用 Excel 的 PRICE() 函数计算给定收益率下的债券价格。

需要注意：

• 票息率和收益率应按函数要求输入为小数。例如 4.644% 应输入为 0.04644；
• 假设债券按面值偿还；
• PV01 与久期的风险含义相近，但一个通常以金额表示，另一个通常以价格百分比敏感度表示。

PRICE() 函数的计息日数基础参数如下：

Basis	日数计算基础
0 或省略	美国 NASD 30/360
1	实际天数/实际天数
2	实际天数/360
3	实际天数/365
4	欧洲 30/360

头寸信息：

• 规模：100 美元；
• 到期时间：10 年；
• 收益率百分比变化的波动率：0.01312；
• DV01：每 100 美元面值为 ；
• 2006 年 12 月 27 日收盘收益率：4.644%。

按讲义公式，

因此，该 100 美元头寸的 99% 单日 VaR 约为 1.125 美元。

对具有信用风险的证券，应区分：

• 利率风险；
• 信用风险。

信用利差反映违约概率及违约后的回收率。两类风险通常分别计算。

有时会近似假设

其中 CSPV01 是信用利差变动 1 bp 引起的价值变化。

• 若回收率为 0，这种相等关系成立；
• 若回收率不为 0，两者通常不相等。

信用利差可能来自：

• 根据债券价格计算的利差；
• 信用违约互换（CDS）利差；
• 资产互换利差。

具有信用风险的债券收益率可分解为：

利率 PV01 衡量无风险利率曲线变化的影响；CSPV01 衡量信用利差变化的影响。

协方差允许我们研究不同资产价格如何相对于彼此变动。

两个样本序列 的样本协方差为

协方差表示：

• 当一个变量偏离自身均值一定距离时，另一个变量通常偏离其均值多少；
• 当 变动时， 变动的幅度和方向；
• 投资组合中每一变量与其他每一变量之间的共同变化关系。

正协方差表示二者倾向同向变动，负协方差表示倾向反向变动，接近零则表示线性共同变动较弱。

基本统计恒等式为

讲义给出一组 的观测数据，并计算得到：

统计量	数值
	0.333059
	0.469281
	0.349660
	1.501660
由 序列直接估计的方差	1.501660

两种计算完全一致，验证了方差加总公式。

如果已知投资组合中所有证券的方差和两两协方差，就可以：

• 评估整个投资组合的风险；
• 评估任意子投资组合的风险；
• 衡量分散化带来的风险降低。

这是现代投资组合理论的重要基础。

相关系数是经过标准化的协方差：

协方差与相关系数的区别：

• 协方差带有单位；
• 相关系数没有单位；
• 相关系数取值介于 与 之间，是线性共同变化程度的标准化指标。

只要正确处理单位，使用相关系数或协方差都可以得到一致结果。

• 相关系数更便于直觉理解；
• 协方差使投资组合方差计算更直接；
• 已知协方差和各资产波动率，就能计算相关系数；
• 仅知道相关系数，若不知道各资产波动率，则无法恢复协方差。

前面的组合假设每项资产只持有一个单位。但现实投资组合通常持有多股、多只债券或多份合约。

若持有 单位资产 ，则

对两个头寸，

对三个资产，

若持仓量分别为 ，

对四个资产及持仓量 ，

资产数量增加时，逐项展开很快会变得繁琐。要推广到包含大量资产的投资组合，需要：

• 使用协方差矩阵或相关矩阵；
• 使用线性代数的矩阵运算。

讲义给出 11 个市场指数的相关矩阵与协方差矩阵。指数含义如下：

代码	含义
M0A0	Mortgage Master，抵押贷款综合指数
GA10	当前 10 年期美国国债
C0A0	美国公司债综合指数
SPX	标普 500
IGOV	美元计价新兴市场主权债指数
MXEF	MSCI 新兴市场股票指数
C0A1	美国 AAA 公司债
H0ND	美国非困境高收益债
H0HY	美国原始发行高收益债
H0A0	高收益债综合指数 II
VIX	波动率指数

相关矩阵中的代表性关系包括：

• H0HY 与 H0A0 的相关系数为 0.99；
• H0ND 与 H0HY 的相关系数为 0.96；
• SPX 与 MXEF 的相关系数为 0.82；
• SPX 与 VIX 的相关系数为 ；
• MXEF 与 VIX 的相关系数为 。

协方差矩阵的对角线是各指数方差，例如：

• M0A0：0.71；
• GA10：5.52；
• C0A0：3.30；
• SPX：21.29；
• MXEF：51.57；
• VIX：366.22。

非对角元素为两两协方差，例如：

• ；
• ；
• 。

矩阵均为对称矩阵，因此上三角与下三角包含相同信息。

讲义依次展示由 CAD、CHF、DEM、ESP 和 FRF 收益率构成的 至 协方差矩阵。完整 矩阵为

把矩阵中所有元素求和，得到：

这正是每种资产各持有一个单位时的投资组合方差。

若投资组合对协方差矩阵中的每项证券都持有一个单位，则投资组合方差等于矩阵所有元素之和。

现实中，各资产持仓量几乎从不完全相同，因此需要把头寸向量纳入计算。

• 使用单日风险期限，可以减少相关矩阵在理论上的歧义；
• 相关性是否随时间稳定，是风险管理的核心问题；
• 市场承压时，相关性常由接近中性迅速转向强烈同向或反向；
• 较短时间范围内，价格的线性近似通常更可靠。

这也说明：用正常时期的固定相关矩阵估计压力期风险，可能低估组合尾部损失。

矩阵代数可以简洁表示对多行、多列数字进行的算术运算，可以把它视为一种“算术速记”。

在电子表格中，可以使用：

• MMULT()：矩阵乘法；
• TRANSPOSE()：矩阵转置。

完整的线性代数课程超出本讲范围，但进行方差—协方差分析所需的核心运算相对简单，主要就是：

• 构造头寸列向量；
• 构造协方差矩阵；
• 对头寸向量作转置；
• 执行两次矩阵乘法。

假设外汇头寸为：

• CAD/USD： 美元；
• CHF/USD： 美元；
• DEM/USD： 美元。

头寸向量为

协方差矩阵为

投资组合方差为

标准差为

99% 正态 VaR 为

在 Excel 中，可用类似下式一次完成组合方差运算：

=MMULT(TRANSPOSE(头寸行向量),MMULT(协方差矩阵,头寸列向量))

上述电子表格仍得到：

使用矩阵函数时应注意：

• 在旧版本 Excel 中，矩阵公式需要用 Ctrl+Shift+Enter 提交，而不能只按 Enter；支持动态数组的新版本通常不再需要此操作；
• 头寸数量必须与协方差矩阵的行数和列数一致；
• 头寸的排列顺序必须与矩阵中资产的排列顺序完全一致。

矩阵公式

首先产生投资组合方差，而不是 VaR。

计算顺序为：

1. 计算组合方差：
   
2. 开平方得到组合标准差或波动率：
   
3. 乘以 2.33，得到正态分布假设下的 99% 单侧 VaR：
   

方差—协方差计算的主要环节包括：

• 收集数据；
• 计算收益率；
• 检验数据；
• 构造矩阵；
• 整理头寸并构造头寸向量；
• 执行矩阵乘法；
• 计算资本需求；
• 解释计算结果。

原流程图可以整理为以下顺序：

1. 从多个来源收集市场数据；
2. 计算市场收益率；
3. 对数据进行检验，例如绘图、检查超过 2 个标准差的观测；
4. 构造市场协方差矩阵 ；
5. 收集头寸数据；
6. 构造包含 DV01 等敏感度调整的头寸向量 ；
7. 进行矩阵乘法：
   
8. 计算绝对 VaR 和子投资组合 VaR；
9. 计算边际 VaR；
10. 进行情景分析；
11. 将结果用于资本与风险管理决策。

建立方差—协方差模型时，需要明确：

• 数据如何取得；
• 使用多长的历史时期；
• 历史观测采用何种权重；
• 如何进行风险分桶；
  • 对不相关资产如何处理；
  • 对相关资产如何归类；
• 数据缺口如何处理；
• 模型多久更新一次；
• 收益率差分采用日、周还是月间隔。

价格与证券信息

• DRI（Fame）；
• Datastream；
• 万维网；
• Bloomberg；
• 内部数据系统。

协方差矩阵

• RiskMetrics；
• Bloomberg。

信用信息

• CreditGrades/RiskMetrics；
• KMV；
• 信用评级机构；
• Bloomberg。

任何来源都应检查时区、币种、复权方式、缺失值和异常值处理是否一致。

选择历史窗口时要考虑：

• 应追溯多长时间；
• 数据是否可获得；
• 定价机制或市场制度是否发生改变；
• 重大结构性事件，例如 2008 年金融危机；
• 区域性制度变化，例如 1995 年的巴西市场；
• 欧元的引入；
• 市场异常现象是否存在；
• 交易者是否可能利用这些异常获利。

过长窗口包含更多数据，却可能混入已经失效的市场制度；过短窗口更能反映当前状态，但估计误差更大。

常见历史观测加权方案包括：

• 等权： 每个历史观测权重相同；
• 指数加权： 越新的观测权重越高，越旧的观测权重按指数速度衰减。

选择指数加权系数会产生重大影响：

• 实现可能更困难；
• 验证和复核更困难；
• 会显著改变方差与协方差；
• 权重选择在很大程度上具有主观性。

但指数加权也有优势：

• 能使波动率随着旧观测逐渐退出而平滑变化；
• 更符合“近期信息比久远信息更重要”的启发式决策思路。

指数加权给予近期观测更高权重，权重随时间向过去呈指数下降。需要选定或估计权重因子。

加权协方差的一般形式为

其中

指数权重通常满足

原图比较：

• 收益率百分比变化；
• 6 个月滚动波动率；
• 衰减因子分别为 0.92、0.94、0.96、0.98 的指数加权波动率。

较小的 ：

• 对最新变化反应更快；
• 波动率估计更敏感、更不平滑。

较大的 ：

• 保留历史信息更久；
• 波动率路径更平滑，但对市场状态突变反应较慢。

不可能为每一个单独头寸都设置独立风险桶，因此需要“分桶”：

• 把相近风险暴露映射到同一代表性风险因子；
• 降低模型粒度和维度；
• 若分桶设计合理，可以在显著简化计算的同时不明显降低准确性；
• 某些无法可靠估计相关性的资产，可能需要映射到设定波动率的“不相关资产”桶。

错误分桶会掩盖基差风险，因此应检验桶内资产是否具有足够相似的风险行为。

模型可以每日、每周或每月更新。选择本质上取决于对市场的假设：

• 市场风险因子多快发生变化？
• 短期欧洲存款利率和日本利率的波动率变化可能很频繁；
• 相关结构的变化往往比单项波动率更难估计。

更新过慢会滞后，更新过快则可能让估计受到噪声支配。

选择简单百分比收益率还是对数收益率，主要取决于计算便利性。

简单百分比变化：

对数变化：

讲义指出，使用普通百分比变化的理论问题之一，是基于线性或正态近似的模拟可能产生低于 的收益率，从而隐含负价格；对数价格模型则天然保证价格为正。

需要在日、周和月变化之间作出选择：

• 有哪些频率的数据可用？
• 协方差矩阵用于短期交易，还是长期头寸管理？
• 能否用平方根时间法则在不同期限间缩放？

在独立同分布假设下，理论上可以：

但现实中存在：

• 不同市场收盘时间不一致导致的非同步问题；
• 收益率序列自相关；
• 波动率和相关性随时间变化。

因此不能机械缩放。

单位

• 头寸是否以百万为单位记录？
• 风险敏感度和价格变化使用的单位是否匹配？

外汇头寸

• 是否统一采用同一基础货币；
• 多头和空头基础货币的符号是否正确。

固定收益头寸

收益率上升通常导致债券价格下降，必须正确处理 DV01 或久期的符号。

前面的组合例子假设头寸是外汇、大宗商品或股票：

• 这些资产直接对价格或价格收益率建模；
• 头寸规模乘以预期最大价格变化
  就得到预期最坏损失。

固定收益市场通常对收益率变化建模，而不是直接对价格变化建模，因此必须增加价格敏感度转换。

纳入固定收益头寸时，需要把名义头寸乘以反映价格对收益率变化敏感度的指标：

• DV01，即收益率变动 1 bp 的价值变化；
• 或久期。

这一调整应在构造头寸向量时完成。换言之，协方差矩阵描述的是收益率风险因子，头寸向量则应转换为对这些风险因子的货币敏感度。

问题：每个风险桶自身的绝对 VaR 是多少？

有两种算法：

1. 用单个头寸的风险敏感度乘以该风险因子的波动率，再乘置信系数；
2. 仍使用完整协方差矩阵和头寸向量，但每次只保留目标桶的头寸，把其他所有头寸设为零。

绝对 VaR 忽略该桶与其他桶之间的分散化或对冲效应。

假设原头寸向量为

为计算每个桶的绝对 VaR，依次使用：

把每个单桶向量分别代入

即可得到该桶的绝对 VaR。

边际 VaR 主要用于：

• 判断单个头寸对投资组合 VaR 的贡献；
• 揭示组合内部的自然对冲；
• 评估专门构建的对冲组合是否有效。

如果移除某头寸后组合 VaR 上升，该头寸可能正在提供对冲；如果移除后 VaR 下降，它可能是风险来源。

原组合头寸为

依次把一个桶的头寸设为 0，其余头寸保持不变。例如：

一直到

把每个“删除一个头寸”的组合 VaR 与原始 VaR 比较：

这给出第 个头寸的离散边际风险贡献。

历史模拟法使用某段历史时期真实观察到的利率与价格，或其标准化变化，对当前投资组合重新估值：

1. 用每个历史市场变动冲击当前组合；
2. 得到一系列假设损益；
3. 将损益从差到好排序；
4. 选取第 差的次序统计量作为 VaR。

取决于显著性水平和可用观测数量。例如，99% VaR 关注最差的 1%。

1. 方法简单；
2. 直观易懂；
3. 非参数化，不必预设正态分布；
4. 容易在交易台、业务线和全公司之间汇总。

• 良好的尾部估计需要大量数据；
• 某些风险因子的历史数据很短；
• 新产品没有自身历史，难以判断其在过去市场冲击下会如何表现；
• 默认历史分布具有平稳性，即未来风险状态与历史时期可比。

若历史窗口没有包含类似当前风险的压力事件，历史模拟会低估风险。

历史模拟可以看成一种受限的 Monte Carlo：

• 总体思路和处理架构相似；
• 情景不是从参数分布随机生成，而是直接取自历史观测，因此是非参数方法；
• 本质上是在把当前投资组合放回过去逐日进行回测。

1. 收集头寸数据；
2. 把头寸映射到风险指数或风险桶；
3. 计算敏感度，包括 Delta、Gamma；
4. 收集历史市场数据；
5. 计算收益率或风险因子变化；
6. 用历史变化“冲击”当前投资组合；
7. 计算每个情景的损益；
8. 排序损益并提取相应次序统计量。

风险管理工作的 90%，是知道自己持有什么、持有在哪里。

需要决定：

• 头寸数据保留多细的粒度；
• 不同市场的数据是否同步；
• 衍生品如何表达：
  • 使用哪些希腊字母敏感度；
  • 头寸以名义本金还是盯市价值记录。

头寸遗漏、重复或符号错误可能比模型选择本身造成更大误差。

分桶粒度仍然关键。可选方法包括：

• 使各桶绝对 VaR 大致相等；
• 按久期加权映射；
• 按实际对冲头寸或代表性风险因子映射。

还必须统一单位：

• 头寸规模；

• 固定收益名义本金与 DV01；

• 收益率百分数与基点。

• 股票、外汇和大宗商品的线性价格敏感度较容易计算；

• 固定收益头寸可使用

  把收益率百分比变化转成损益敏感度；

• 对短期、小幅变动，债券凸性通常不是主要问题；

• 对期权，可使用 Delta 或 Delta–Gamma 近似：

  • 单日 VaR 中，Delta 近似往往尚可；
  • 持有期较长时需要 Gamma；
  • 市场波动剧烈时也可能必须加入 Gamma。

Delta–Gamma 损益近似为

收集历史数据时应考虑：

• 数据来源；
• 数据质量问题；
• 缺失数据；
• 历史时期；
• 观测频率。

收益率可计算为：

或

有了头寸敏感度和历史冲击后，就可以生成逐日假设损益。

若使用敏感度近似而非完整重估，损益数字会包含由以下因素造成的近似误差：

• 固定收益凸性；
• 期权 Gamma；
• 其他非线性风险。

这些数值表示：如果今天的投资组合在过去 个历史日期分别经历当日市场变动，可能产生的假设损益。

• 将所有假设损益从最差到最好排序；
• 选择第 差的结果作为次序统计量；
• 可同时报告 1%、5% 和 10% 尾部水平，但可用精度取决于观测数量；
• 必须保存组合层以下的损益明细，因为整体损失可能由极少数实际头寸驱动。

孤立的 VaR 数字没有价值。应当：

• 每日计算并与过去结果比较；
• 决定回测使用实际损益，还是风险指数的实际变化；
• 比较完整重新定价与敏感度近似；
• 与压力测试及情景分析结合使用。

VaR 不是“最大可能损失”，它只是在指定模型、期限和置信水平下的分位数。

历史模拟表包含：

• 每个历史日期的市场收益率；
• 当前头寸在该历史冲击下的假设损益；
• 各交易台损益；
• 公司总损益。

对每个日期：

99% VaR 的次序统计量与样本长度有关：

历史长度	约计观测数	1% 尾部位置
1 年	250	第 2 与第 3 差结果的平均
2 年	500	第 5 差
3 年	750	第 7 与第 8 差结果的平均
4 年	1000	第 10 差

对每个交易台和公司总组合分别排序，即可得到交易台 VaR 与总 VaR。

历史模拟 VaR 的数据流为：

1. 后台系统提供头寸；
2. 风险系统计算或接收头寸敏感度；
3. 外部或内部数据商提供历史市场数据；
4. 系统生成可能结果的损益分布；
5. 从中提取最差 1% 的 VaR；
6. 输出限额报告、压力测试、历史情景和临时专项分析。

VaR 引擎为每个组合生成损益向量。讲义示例采用四年历史，每个向量含 1043 个损益日期。

给定某一层级，父组合的损益向量等于其子组合损益向量之和。例如：

若 是父组合损益向量， 是第 个子组合损益向量，则

把方差作为损益向量风险的代理。由于

父组合方差为

另一方面，

因此

将上式除以父组合标准差 ：

其中讲义定义

这里的 是以标准差为风险尺度时，第 个子组合对父组合波动率的分解贡献。各子项之和等于父组合标准差。

用前述方差—协方差比，把父组合 VaR 分配给子组合：

例如，固定收益业务（FID）的边际 VaR 为

由于

所以所有子组合的分配额恰好加总为父组合 VaR。

公司父层组合的示例结果为：

业务单元	独立 VaR	相对于公司层的边际 VaR
FIRM_primary		不适用
PDT
IEDxPDT
SUPERFID

子项边际 VaR 之和为

恰好等于公司父层 VaR。

边际值总是相对于层级结构中的直接父节点计算。SUPERFID 下的示例为：

FID 子业务	独立 VaR	相对于 FID 的边际 VaR
INTEREST RATE CURRENCY GR
LENDING JV
FID UNDEFINED
CREDIT PRODUCTS GROUP x LENDING
CM

这些 FID 子项的边际 VaR 合计为 ，与表中的 SUPERFID 独立 VaR 不同。讲义说明差异源于采用了不同的“golden run”基准运行。原则上，同一次一致运行中，所有直接子节点的边际 VaR 应加总为父节点的独立 VaR。

历史模拟这类经验方法具有：

1. 直观吸引力；
2. 容易检查错误；
3. 信用利差的历史活动已经内嵌在数据中；
4. 不必维持多元正态分布假设；
5. 自动产生历史情景分析。

原页用三幅图比较非线性产品的三种表示方法：

1. 局部或部分参数表示： 只用局部敏感度近似价格曲线；
2. 完整参数表示： 加入更高阶项，以更完整的函数近似曲线；
3. 精确重新定价： 对每个冲击直接调用完整定价模型。

冲击幅度较小时，局部近似可能足够；冲击变大或产品非线性增强时，部分参数近似与真实价格曲线的偏差会显著扩大。

定价网格是在多个风险因子冲击点上预先计算产品价值。模拟时通过网格查找或插值得到价格，从而在以下两者之间折中：

• 完整重新定价的准确性；
• 参数敏感度近似的计算速度。

对于多风险因子产品，网格维度会迅速增长，因此需要控制关键风险因子的数量。

原图展示 2001—2011 年实际

随时间变化，大致位于 40%—80% 之间。

若损益严格服从零均值正态分布，理论比率为

实际比率偏离该水平，说明尾部形状会随时间改变，并可能存在偏度、厚尾或市场状态转换。

1. Monte Carlo 是利用随机数序列，近似无法解析求出的数值的方法；
2. “Monte Carlo”一词在曼哈顿计划期间形成，因为这种方法与机会游戏相似；
3. 基本要求是：系统能够用概率密度函数描述。

Monte Carlo 模拟可用于：

1. 路径依赖产品；
2. 含凸性头寸的对冲分析；
3. 具有强跳跃风险的投资组合，例如保险业风险；
4. 信用敞口；
5. VaR。

流程如下：

1. 从多个来源收集市场数据；

2. 计算市场百分比变化；

3. 进行图形和异常值检验；

4. 构造市场协方差矩阵 ；

5. 通过 Box–Muller 等方法，把均匀随机变量转换为正态随机变量；

6. 对协方差矩阵作特征系统分解；

7. 生成具有目标协方差结构的相关随机冲击；

8. 使用冲击对组合重新定价；

9. 计算损益；

10. 排序损益并提取次序统计量，得到 VaR。

11. 生成均匀随机数；

12. 转换为正态随机数；

13. 构造协方差矩阵；

14. 分解协方差矩阵；

15. 创建相关随机冲击变量；

16. 使用冲击重新定价；

17. 估计 VaR。

随机数可分为三类。

真随机数

• 不能只靠确定性计算机算法产生；
• 需要外部物理来源，例如放射性衰变。

准随机数

• 实现较困难；
• 目标不是模拟独立随机，而是在取值空间中获得更均匀的覆盖；
• 常用于降低数值积分误差。

伪随机数

• 由计算机确定性算法生成；
• 在统计上看起来近似独立且均匀；
• 是实际模拟中的主流方法；
• 有许多可选算法，讲义推荐参考 Knuth。

需要把

转换为

一种方法是逆累积分布函数：

其中 为标准正态分布的累积分布函数。

也可以使用 Box–Muller 变换。若 独立且均匀分布于 ，则

是相互独立的标准正态随机变量。

购买还是自行构建

需要评估：

• 风险因子覆盖范围；
• 缺失数据假设；
• 历史观测的加权方法。

差分间隔

• 日、周或月变化；
• 能否在期限之间可靠缩放。

协方差矩阵分解的目标是找到一个“平方根”矩阵 ，使

若 ，则

满足

矩阵分解通常是 Monte Carlo 模拟中计算上最复杂的环节之一。

Cholesky 分解

• 计算较简单；
• 被多种软件包采用；
• 要求矩阵正定；
• 构造下三角矩阵 ，使
  

特征值—特征向量分解

• 计算更复杂；
• 在处理近奇异矩阵时可能更灵活；
• 构造特征向量矩阵 和对角特征值矩阵 ，使
  

相应平方根可取

若 是 的独立标准正态向量，

是由特征值平方根构成的对角矩阵， 是特征向量矩阵，则可令

于是

因为

原讲义把随机向量写成行向量，公式为 ；这里改用更常见的列向量约定，二者等价。

分解和相关随机数生成过程容易出现细小错误。检查方法包括：

• 从大量模拟冲击重新估计协方差矩阵，与目标矩阵比较；
• 用 检验或卡方检验检查方差；
• 用正态近似检验相关系数；
• 使用 Box 的 检验比较协方差矩阵。

讲义列出的示意关系包括

以及样本相关系数近似分布：

实际应用中常对 Fisher 变换后的相关系数进行推断。

• 数值精度；
• 负特征值；
• 计算时间；
• 数据存储；
• 是否保留完整、可复核的错误审计轨迹。

理论协方差矩阵应半正定。出现明显负特征值通常意味着估计误差、缺失数据处理不一致或数值舍入问题。

• 常假设多元正态分布；
• 可能忽略序列相关；
• 可能忽略偏度；
• 可能忽略峰度和厚尾；
• 模拟均值回归需要额外调整；
• 模拟跳跃扩散也需要额外模型。

两种基本方法：

精确重新定价

• 更准确；
• 计算负担大。

参数表示

• 可以很准确；
• 交叉偏导项及高阶非线性会引入误差。

多风险因子的二阶近似可写为

其中 是价值函数的 Hessian 矩阵，包含 Gamma 和交叉 Gamma。

重新定价后：

1. 计算每个模拟情景的损益；
2. 对所有损益排序；
3. 选取相应尾部的第 个结果得到 VaR；
4. 若要得到子投资组合 VaR，需要按业务层级对损益进行分组和排序。

若损失按从大到小排序，取第 大损失；若损益按从差到好排序，则取第 差损益。两种表述必须保持符号约定一致。

什么是回测？

回测比较：

• 时刻 计算的 VaR；
• 时刻 实现的损益。

如果实际损失超过前一日 VaR，就出现一次 VaR 超越或例外。

为什么进行回测？

• 监管或内部政策要求；

• 对模型计算进行现实检验；

• 帮助发现数据和程序错误；

• 识别投资组合风险特征的变化。

• 回测可以下钻至交易台层级；

• 必须记录并解释异常超越；

• 某些情况下需要汇总到更高业务层级；

• 汇总可能掩盖单个交易台的损失尖峰；

• 头寸被拆分到多个账簿时，归属和汇总会变得困难。

粒度太细会导致观测噪声和样本不足，粒度太粗则会因分散化掩盖局部模型失效。

• 拆分账簿；
• 使用前台还是后台损益；
• 损益确认的时间；
• 组织架构调整；
• 数据维护；
• 数据与模型更新频率；
• 是否也记录向上的正收益跳跃。

回测通常最关注损失超越，但正向极端变动也能揭示模型低估尾部波动。

原图以百万美元为单位叠加：

• 蓝色柱线：每日收入或损益；
• 红线：99% VaR；
• 绿线：95% VaR。

大多数日损益位于 VaR 阈值以内，但存在少数明显的负向尖峰穿越 95% 或 99% VaR。99% VaR 的绝对值通常大于 95% VaR，因此红色阈值位于绿色阈值下方。

第二张回测图的后半段出现：

• 一个极大的负损益尖峰；
• 多个连续的大幅负损益；
• 损益波动显著上升；
• VaR 阈值虽有所调整，但对状态突变存在滞后。

这种图形提示模型或历史窗口没有及时捕捉新的高波动市场状态。

图中多条风险界线围绕中心损益序列展开，红色限制线保持为较低的水平常数。前半段带宽较宽，随后突然收窄。

该例说明：若模型输入、头寸范围或波动率制度发生结构性变化，风险带可能产生不连续跳变；应核对是否由真实风险下降、数据截断或模型变更造成。

图中风险带分阶段改变，损益序列出现一个显著的负向尖峰并穿越红色阈值。红色阈值也在多个时点阶梯式调整。

需要调查：

• 超越是否由真实市场事件驱动；
• VaR 是否因更新滞后而低估风险；
• 阈值跳变是否来自模型或限额调整。

图中损益序列含大量尖峰，而上下风险界线随时间缓慢变化。多个尖峰接近或穿越界线。

这代表损益可能具有厚尾或跳跃特征，平滑的波动率模型难以及时覆盖离散冲击。

序列前半段几乎为零，随后在某一时点突然出现高波动数据，并形成上下分离的风险带。

这种模式通常提示：

• 新业务或新产品开始计入；
• 数据历史不足；
• 头寸或系统口径发生变化。

不能把前期大量零值简单视作正常历史，否则会严重低估新头寸风险。

图中损益和风险界线总体稳定，仅有少数短暂尖峰；红色阈值在中途发生一次阶梯式变化。

该图适合检查阈值调整是否与风险水平变化同步，以及个别尖峰是否需要记录为模型超越。

后半段上下风险界线明显分离，损益噪声也增强；红色阈值在结构变化附近向下调整。

这种组合表明模型已经部分响应风险上升，但应继续检查：

• 新阈值是否足以覆盖实际尾部；
• 风险制度变化是否持久；
• 调整前后的回测结果能否直接比较。

上图展示一项资产支持证券（ABS）利差或相关风险因子的历史水平：

• 2004—2007 年大部分时间接近低位；
• 2007 年后快速上升；
• 2008 年前后多次冲高至约 4 的区域。

下图展示相应日变化：

• 早期波动很小；
• 2007 年后振幅突然扩大，出现约 至 的极端变化；
• 图中同时标示生产历史、测试历史、新旧统计阈值及 95% 界线。

该数据明确体现结构突变和异方差：用危机前历史校准的 VaR 无法代表危机期风险。

本页再次用百万美元为单位比较收入、99% VaR 与 95% VaR。图形与第 104 页的展示结构相同，用于把清洗或调整后的数据结果与先前回测比较。

重点是核对：

• 超越数量是否下降；
• VaR 曲线是否更及时地跟随波动；
• 数据处理是否只是隐藏了异常，而非真正改善模型。

本页再次展示高波动时期的回测结果，结构与第 105 页相同。多个大额负损益及极端尖峰说明，仅靠常态 VaR 不能覆盖危机损失，必须结合：

• 压力测试；
• 历史极端情景；
• 前瞻性临时情景；
• 模型超越调查。