03-Wiener过程与Brownian运动

随机微积分第 3 讲与第 3 次习题课手写讲义

第 3 讲

时间是连续的：

定义。 过程 称为 Wiener 过程／Brownian 运动，如果：

1.

2. 对任意 ，增量满足

旁边的图以时间为横轴、 为纵轴，画出了红、绿、蓝三条可能的连续样本路径。另一个小图标出时刻 和 ，并用竖直箭头表示增量 。

3. 不重叠区间上的增量相互独立。

若

则

是相互独立的增量。图中在同一条时间轴上依次标出了 。

4. 样本轨道连续的概率为 ：

定义。 关于滤过 ，过程 称为 Wiener 过程，如果条件 1、2、4 保持不变，并把条件 3 改为：

3′. 对任意 ，

也就是说，未来增量独立于当前信息。图中在时刻 与 之间画出路径，并用竖直箭头标记 。

例。 计算

并把下列概率用标准正态分布 的分布函数表示成数值：

以及

页末图画出一条从 到 的样本路径，在 与 处标记 、，并用虚线表示相应高度。旁边再次注明 。

先写成

于是

图中把 标注为“未来”，把 标注为“已知”。并且

对条件方差，

这里“未来值＝过去值＋增量”。第二个条件方差为 ，因为 在给定 后已经确定。并且

所以其方差为 。

一般地，如果随机变量 关于 可测，则

再看无条件分布。由于 ，

其中

而且二者独立。因此

页中还写出了

以及

由分布关于 对称，

从而

页末给出正态密度的示意图。若

则图中密度以 为中心，并写出

相应地，

以及

现在求

图中在时间轴上标出 ，并用三段不同颜色的箭头表示相应增量。旁边写着“三者都独立”。

分解为

给定 后，

条件方差为

因为两个增量相互独立。因此

作为对照，无条件分布是

一般地，若

则标准化得到

也就是把随机变量变为

因此，

其中 是标准正态随机变量。图中画出了标准正态密度，并在 的右侧阴影表示所求尾概率；标准正态密度为

所求概率也可写成

或

方框旁写着：“考试做到这里即可。”其中 表示 的分布函数。

页中还写出用于计算的 Python 导入语句：

from scipy.stats import norm
from numpy import sqrt

定义。 连续时间过程 称为鞅，如果

例。 设 是 Wiener 过程，并取自然滤过

（a） 是鞅吗？——它是鞅。

（b）过程

是鞅吗？——它是鞅。

对（a），图中在时间轴上标出 ，并注明：给定 时，直到时刻 的所有值都是已知的。例如，

与

然后

其中

对（b），

令增量

图中用两个相邻的半圆表示过去区间与区间 ，并把 标为“增量”。于是

这里

而且

第 3 次习题课

例。 图中画出从 出发的 Wiener 路径，上方屏障为 ，下方屏障为 。路径最终在停时 到达 。定义

问题：

（a）求

页上预先写出了候选结果 。

（b）求

提示：假设可以使用 Doob 定理。

若 是关于滤过 的鞅， 是停时，并且满足某个“技术条件”，则

这里使用两个鞅：

由停时定理，

令

那么

即

所以

再利用

有

从而

因此

“ABRACADABRA”问题

字母表包含 26 个字母 到 。令

目标是求 。

为了使用 Doob 定理，设想开一家赌场。规则如下：

• 每位玩家带着 美元入场；
• 玩家应把自己的全部财富押在下一个按键上；
• 下注顺序是 ，也就是单词 “ABRACADABRA” 的字母顺序；
• 如果猜对，赌注乘以 ；
• 如果猜错，财富变为 。

用

表示第 个人在时刻 的财富。最初

一次下注后，

两次下注后，图中列出财富为 或 ，相应概率包含

这里

所以每个玩家的财富过程都是鞅。

定义赌场中所有玩家的总财富

页上注明： 不是鞅，而且

但

是鞅。因此，若可应用停时定理，

所以

图中把各玩家的下注字母按列排列，并在最终出现

时标出三个仍有财富的匹配：完整单词、后缀 “ABRA” 和空匹配。相应财富分别标为

因此原页写出

并得到

例。 设 是 Wiener 过程，定义

问题与计算如下。

（a）

（b）

（c）求 的分布。页上先写了 ，随后划改；后面的计算得到

（d） 的增量是否相关？原稿把“相关”改为“独立”，即不重叠增量相互独立。

首先，

其均值为

因为

方差计算为

其中

同理 。对 ，时间倒数满足

并且

这里增量 与 独立。

作为 Wiener 过程协方差的例子，页末写出

以及

一般地，

图中用时间轴分别示意 ，以及 时的区间关系，并标出两个增量 与 。

对 $0

图中还画出取倒数后的时间顺序

对联合正态随机变量，

定理。 若 是 Wiener 过程，则

也是 Wiener 过程。这称为时间反演。

例。 计算

页中画了两幅路径图：上图为 ，并用红色椭圆圈出 前后的两段；下图为时间反演后的 ，相应部分在时间尺度上互换。

由

可得

检查题 3（原稿标注：“第 66 页，N3”）

图中画出一个离散随机游走：当前位置为 ；每一步以概率 向左移动 ，以概率 向右移动 ，以概率 留在原地。左端 标作“猫头鹰”，右端 标作“兔子”。

定义

1. 是否为鞅？

计算为

所以 是鞅。页中还画出一条离散路径，包含上升、下降和保持不变的水平段。

（b）考虑

求使其成为鞅的 。鞅条件为

即

写成

并把三部分分别标为“未来值＝当前值＋增量”。令

则

所以

而

条件等式展开为

等价地，直接按三种转移写成

因此页末留下方程

由上一页方程得到

所以

是鞅。

（c）求

以及 。

由 的鞅性质和停时定理，

令

则

即

于是

再由 是鞅，

因此

旁边写着：“请自己解出来。”

N2

设 是 Wiener 过程。

（a）

并且

其中

且 与 独立。

（b）开始计算

由 ，

由于 独立且 ，

页末再次写出时间反演过程：

令

由时间反演关系，

特别地，

以及

页右上写出：若 是可逆变换，则

继续上一页的条件期望。用星号 表示尚待计算的部分：

因此

页中插入了一个离散例子说明条件于 和条件于 给出相同信息。表格为

因此

而

旁边写着

接着计算条件方差：

仍令

则

原页把它继续展开为条件二阶矩减去条件均值的平方：

交叉项满足

因为

对于第一项，

页底引用了鞅

并写出

由上一页最后的等式，

同样，由 是鞅，

页上最后还写有

这里右端 Wiener 变量的下标在原稿中看起来写作 ；该式与前两行采用同一鞅性质，但原页没有继续解释或修正。