08-波动率建模

Dr. Kempthorne
2013 年秋

波动率建模

1. 定义波动率；
2. 历史波动率：度量与预测；
3. 几何 Brown 运动；
4. Poisson 跳跃扩散；
5. ARCH 模型；
6. GARCH 模型。

基本定义

波动率是金融证券价格或价值变化的年化标准差。

估计与预测方法

• 历史或样本波动率；
• 几何 Brown 运动模型；
• Poisson 跳跃扩散模型；
• ARCH/GARCH 模型；
• 随机波动率模型；
• 从期权或其他衍生品价格反推的隐含波动率。

本节进入历史波动率的度量与预测。

设资产在 个时点的价格为

对应 期对数收益率为

假设 协方差平稳，单期波动率为

样本估计为

其中

年化波动率为

平方根时间缩放依赖收益率独立同分布或至少方差可加的近似。

对时期 ，定义样本波动率

• 若 表示月份而数据为日度， 是当月日收益率标准差；
• 若 表示单日且每天只有一个日收益率，则可用
  作为零均值下的单日实现方差代理；
• 有高频数据时，可累加日内平方收益率构造日度实现方差。

历史平均

使用所有可用数据。

简单移动平均

只使用最近 期。

指数移动平均递推

有限窗口指数加权平均

可使用简单回归：

回归可以使用全部历史数据，也可以使用最近 期的滚动窗口。这与直接对 建立自回归模型相似但不完全相同。

主要权衡：

• 更多数据可提高估计精度；
• 更接近时刻 的数据更能反映当前波动状态；
• 应评价样本外表现；
• 不同资产与资产类别应分别研究；
• 比较不同采样频率和预测期限；
• 使用 MSE、MAE、MAPE 等评价指标；
• 可用 RiskMetrics 方法作为基准。

本节进入几何 Brown 运动。

设证券或投资组合价格为 ，几何 Brown 运动满足

其中：

• ：价格波动率；
• ：单位时间平均收益率；
• ：价格的无穷小增量；
• ：标准 Brown 运动或 Wiener 过程的无穷小增量。

Brown 运动增量满足：

不相交时间区间上的增量相互独立。例如 时，

与

相互独立。

观察价格

定义对数收益

则各 独立，并满足

其中

因此 是漂移率为 、波动率为 的算术 Brown 运动。

当所有 时，最大似然估计为

注意最大似然方差估计分母为 ，不是无偏样本方差使用的 。若 不同，则应按各时间间隔构造正态似然。

若除收盘价外还有每期的开盘、最高和最低价格，可以更有效地估计波动率。

假设 、，并令 表示前一日收盘至当日开盘占一整日期间的比例。

为收盘对数价格，

为开盘对数价格，

为开盘后最高对数价格，

为开盘后最低对数价格。

以第一期为例。

收盘到收盘

前收盘到开盘

开盘到收盘

二者均满足

且 与 独立。

平均二者：

则

相对于收盘到收盘估计量，其效率为

当 时，Parkinson（1976）定义

其效率约为 5.2。

Garman 与 Klass（1980）证明，对任意 $0

在 时方差最小，且与 无关，效率约为 6.2。

“最佳解析尺度不变估计量”为

其中标准化最高、最低和收盘对数价格为

该估计量效率约为 7.4。

若 ，开盘价 可能不同于前收盘价 。组合估计量为

当 时方差最小，效率约为 8.4。

本节进入 Poisson 跳跃扩散。

设证券或组合价格为 ，模型为

其中：

• ：单位时间平均收益率；
• ：扩散部分波动率；
• ：标准 Wiener 过程增量；
• ：强度为 的 Poisson 过程增量；
• ；
• ：单次收益跳跃的大小；
• ：以扩散波动率 为单位的跳跃尺度。

在极短间隔 内，

• Poisson 跳跃扩散的收益分布是高斯分布的 Poisson 混合；
• 矩母函数可由独立随机变量随机和的矩母函数推导；
• 似然函数包含无限和的乘积；
• 可用具有闭式更新步骤的 EM 算法估计；
• 把每期跳跃次数视为潜变量，可简化计算；
• 算法还能给出每个时期跳跃次数的后验估计。

参考：Pickard、Kempthorne 与 Zakaria（1987）。

本节进入 ARCH 模型。

ARCH 模型针对离散时间价格过程

Engle（1982）把对数收益

建模为

其中 是给定截至 时信息集 的条件均值。

其中 独立同分布，且

ARCH 条件方差为

约束

因此

体现收益率的条件异方差。

定义

在 ARCH 模型两边加入 ，得到平方误差的 AR 表示：

若条件正态，则

检验

先估计均值模型并得到残差

再以 为因变量、其 阶滞后为解释变量拟合辅助回归。LM 统计量为

在原假设下近似满足

辅助线性回归估计本身并不是高斯 ARCH 的最大似然估计；它主要用于检验或构造准似然方法。

设

在条件正态假设下，

其中

常用约束为

以及为了有限无条件方差，

本节进入 GARCH 模型。

Bollerslev（1986）把 ARCH 推广为 GARCH：

其中

最常用的是 GARCH：

该模型参数精简，并能拟合许多金融收益率序列。

定义

消去 ：

因此平方误差服从 ARMA 型表示。

是鞅差序列：

在条件正态下

由 AR 部分可得协方差平稳条件：

原幻灯片把 写成方差为 的普通白噪声；由于该条件方差随时间变化，更准确的称呼是鞅差或不相关创新。

对平稳 GARCH，若

长期方差 满足

因此

一般 GARCH 的有限长期方差条件为

并且

其平方误差可写成阶数与 有关的 ARMA 表示。

设

条件正态似然为

其中

约束：

最大似然估计得到

继而产生残差 和条件方差 。

残差诊断

标准化残差

应不相关；平方标准化残差

也应不相关。

正态性检验

• 正态 Q–Q 图；
• Jarque–Bera 检验；
• Shapiro–Wilk 检验；
• 基于最大似然百分位数的拟合优度检验；
• Kolmogorov–Smirnov 拟合优度检验。

模型选择

• Akaike 信息准则；
• Bayesian 信息准则。

波动率聚集

• 大的 往往跟随大的 ；
• 小的 往往跟随小的 。

GARCH 模型能产生：

• 大的 跟随大的 ；
• 小的 跟随小的 。

厚尾

金融收益率的尾部通常比高斯分布更厚，峰度更高。GARCH 的无条件分布是条件高斯分布的随机尺度混合，因此可以产生高于正态分布的峰度。

参考：Engle、Bollerslev 与 Nelson（1994）。

GARCH 的长期平均方差为

平方误差的 ARMA 表示为

代入

得到

若

则平方收益率围绕长期方差均值回复，可视为带 MA(1) 误差的扩展 Ornstein–Uhlenbeck 型离散过程。

• EGARCH：指数 GARCH，允许非对称冲击且不必直接施加方差非负约束；
• GJR/TGARCH：允许负收益冲击与正收益冲击对未来波动率产生不同影响；
• PGARCH：幂 GARCH；
• GARCH-in-Mean：把条件波动率或方差加入条件均值方程；
• 非高斯创新：
  • Student 分布；
  • 广义误差分布（GED）。

相关代表性工作包括 Nelson 的 EGARCH、Glosten–Jagannathan–Runkle 的非对称 GARCH，以及 Ding–Engle–Granger 的幂 ARCH。