04-从Wiener过程到Ito积分

《随机微积分》第 4 讲

从 Wiener 过程到随机（Itô）积分

普通积分

可以解释为曲线下的面积。若采用金融解释，则：

• ：在时刻 持有的股票数量；
• ：每股价格；
• 积分值 ：净利润。

例如，若从价格 到价格 一直持有 股，则

图中“数量—时间”曲线在 到 之间恒为 ；“价格—时间”曲线从价格 上升到 。

设 是 Wiener 过程。考虑持仓策略

也就是说，时刻 持有 股，时刻 再买入 股，此后持有
股直到时刻 。相应的随机积分为

图中把它解释为：沿随机价格路径 买卖股票，所得终值为

因此称

为随机积分。

其期望为

这里使用 Wiener 过程的性质：

1. ；
2. 对 ，
   
3. 不相交时间区间上的增量
   相互独立；
4. Wiener 过程的轨道以概率 连续。

利用协方差公式，

独立增量给出

而且

同理，

所以

其中

“未来值 = 过去值 + 增量”。由于

买卖 Wiener 过程是一场公平游戏。

下面转向连续时间，并引入 收敛。

收敛

设随机变量 都平方可积。若

则称

这里要求

目标是计算

普通积分法则在这里失效：若机械套用通常的微积分规则，会错误地得到

收敛例子

设 相互独立，并且

猜测

例如

随着 增大，分布质量越来越集中在 附近；当 时，几乎全部概率质量都位于
。

直接计算：

所以猜测正确：

再令

则

而

因此

所以 不在 中收敛到 。

上面的例子说明：

定理　若

则

练习：Brownian 增量平方和

把区间 等分为 段：

令第 个增量为

因为相邻时间点之差为

需要完成：

1. 求 与 ；
2. 对
   求 与 ；
3. 判断 的 极限。

首先，

因此

由于 相互独立，

写成

则

因此

由上面的定理，

Stein 引理

设

若函数 满足

即 的增长不能太快，则

由于 ，左边也可写成

课堂例子

若 ，则

利用 Stein 引理可以递推标准正态变量的偶数阶矩。例如，

证明来自分部积分：

边界项因增长条件而消失，最后得到

在上述分部积分中，可以取

并使用

例如，

由 Stein 引理，

并且

所以

构造

目标是计算

非正式地说，用一列离散近似

逼近随机变量 。

把 等分为

我们只在时刻 调整投资组合。

步骤 1：定义离散近似 。
步骤 2：求 的 极限。

图中左侧画出以 为目标持仓数量的曲线，橙色竖线表示离散调仓时刻；右侧画出对应的随机价格路径。

先以三等分为例。时刻与目标持仓为

时刻
目标持仓
本次买入

以每个调仓时刻的当前价格结算，并把最终持仓按 计价，得到

一般地，令

定义第 个近似：

也就是

前面已经证明

又有

整理可得

由于 ，

因此

这比普通微积分公式多出了修正项 。

这个公式也有直观上的期望检验：

所以

在适当技术条件下，Itô 积分具有以下性质：

1. 零均值：
   
2. 线性：
   
3. 若
   则 是鞅。
4. Itô 等距：
   
5. 协方差公式：
   

例 1

例 2

图示中，常数持仓 的随机积分就是以 为价格买卖固定
股所得的净变化。

例 3

由 Itô 等距，

因

所以

于是

并且

再例如，

课堂检查题 4

设 、，联合分布为

令

则除事件 外，；在该事件上 。因此

往年考试第 10 页第 2 题

令

则

并且

原笔记在此处留下
的计算提示，未继续写出结果。

第 13 页第 2 题

令

由于

可写成

于是

其中用 Stein 引理得到

方差从

开始计算，而

原笔记在这里结束，未继续化简。