05-Ito积分续

伊藤积分

对常数被积过程，

原图把被积函数画成区间 上高度为 的阶梯函数，并在旁边画出一条从 出发、在时刻 取到 的维纳过程样本路径。“”旁标注为持有数量， 旁标注为价格。

接下来提出问题：

这里没有普通积分那样的直接显式公式，但有以下三条性质：

1. 均值：
   
2. 方差（伊藤等距）：
   
3. 协方差：
   

伊藤过程

定义. 若过程 可以写成

其中 为常数，则称它为伊藤过程。

短记号为

（扫描件中的短记号末项字迹略似 ，但上一行积分定义明确对应 。）

布莱克—斯科尔斯模型

无风险资产 满足

即

风险资产 满足

即

再令

则其微分短记号为

鞅与伊藤过程

定理（在适当的技术条件下）. 伊藤过程 是鞅，当且仅当其漂移项为零，即

等价地， 是鞅，当且仅当

伊藤公式

设 具有连续的二阶空间偏导数 和一阶时间偏导数 ，并满足所需的其他技术条件。若

则

计算 时使用下列规则：

与之对比，普通的非随机链式法则对于非随机函数 只给出

例 1：

这里

问题：

1. 求 ；
2. 求 。

由伊藤公式，

积分形式为

因此

例 2：

令

问题：

1. 求 ；
2. 判断 是否为鞅；
3. 寻找函数 ，使 为鞅；
4. 求 。

对

应用伊藤公式：

于是

因为存在非零的 漂移项，所以 不是鞅。

原图在时间轴上标出 与 。在该时间段内，

其中

而

因此讲义指出

现在令

并选择 ，使 为鞅。由伊藤公式，

其漂移项必须为零，所以

约去指数项后得到

因此

继续计算 。虽然

本身不是鞅，但

是鞅，因此

约去常数 ，

所以

习题课 5：往年试题

扫描件标注：“往年试题，第 5 题，第 68 页”。

考虑随机微分方程

目标是求出 的显式表示。

（a）作代换

令

伊藤公式给出

这里

代回后，

（b）再作代换

需要恰当地选择 。对

应用伊藤公式：

令漂移项为零，即

取

便有

由上一页，

又因为

所以

从而

最终

例 4

定义

其中例如

（a）计算与维纳过程的协方差

讲义计算

因为

所以

这里被积函数是确定性的，“没有任何随机量”。图中画出余弦曲线，并用交替阴影表示正、负区间在完整周期内相互抵消；横轴上还标出了 。

（b） 是否为维纳过程？

首先，

并且对 $0\leq s

有

讲义用区间 作说明：

两个增量相互独立，分别服从

由于中心正态分布乘以 后分布不变，因此上式与

同分布，故

本页底部的示意图同时画出 与 的样本路径：当 时， 的增量相当于把 的相应增量反射；图中以“反射”标出了这一关系。

由确定性符号函数不改变增量的独立性与正态方差可知， 是维纳过程。

本页为空白网格页，无手写文字、公式或图示。