10-时间序列分析 II

Dr. Kempthorne
2013 年秋

时间序列分析 II

1. 多元时间序列；
2. 多元 Wold 表示定理；
3. 向量自回归（VAR）过程；
4. VAR 模型的最小二乘估计；
5. 多元回归中逐分量 OLS 的最优性；
6. 最大似然估计与模型选择；
7. 最小二乘估计的渐近分布。

设

是 维随机过程，其中

它包含 个分量时间序列：

若每个分量序列均协方差平稳，且所有交叉协方差只依赖滞后，则称 协方差平稳。

均值向量为

方差—协方差矩阵为

其第 个元素为

令

即由各分量方差构成的对角矩阵，则相关矩阵为

滞后 的交叉协方差矩阵为

其第 个元素为

交叉相关矩阵为

性质：

• 为 对称矩阵；
• 当 时， 一般不对称；

若对某个 ，

则称

领先

若二者互相领先，即两个方向的相应滞后交叉协方差都非零，则称存在反馈。

这种“领先”是线性预测关系，不自动等同于经济因果。

本节进入多元 Wold 表示定理。

任意 元协方差平稳时间序列均可分解为

其中：

• 是 维线性确定性过程；

• 是多元白噪声：
  
  $$
  \operatorname{Var}(\eta_t)

  \mathbb E[\eta_t\eta_t^T]
  =\Sigma,
  \operatorname{Cov}(\eta_t,\eta_{t-k})=0,
  \qquad k\neq0;
  $$
• 创新与确定性部分正交：
  
• 为 矩阵，满足
  

本节进入向量自回归过程。

维序列 服从 阶 VAR，若

其中：

-

• 为 系数矩阵；

第 个分量方程为

因此，每个分量不仅回归于自身滞后，也回归于所有其他分量的滞后。

定义伴随状态向量

则

其中

伴随矩阵为

所以任意 VAR 都等价于更高维的 VAR(1)。

VAR 平稳，当且仅当：

• 伴随矩阵 的所有特征值模都小于 1；

等价地，

• 复变量方程
  的所有根均位于单位圆外。

对

取期望：

因此

反过来，

中心化模型为

观察 个 维样本：

并给定 个样本前初值。

对第 个分量定义

共同设计矩阵为

其中

每个分量方程为

只关注一个响应分量，而 包含所有分量的滞后。

是第 个分量方程的 维参数向量， 是相应的 维创新向量。

把 个方程并排：

则

这是表面不相关回归（SUR）形式。各方程使用相同解释变量 ，但同期误差可通过 相互相关。

本节进入 VAR 的最小二乘估计。

每个方程的 OLS 估计为

残差应为

把各期多元残差按行排列：

创新协方差的无偏估计为

即

原幻灯片把残差误写为 ，并在无偏自由度中漏掉截距参数 1；这里均已修正。

本节进入逐分量 OLS 的最优性。

定理
对系数矩阵 不施加跨方程约束时：

1. 即使创新协方差矩阵 含有不同分量方差和非零同期相关，逐分量 OLS 也等于考虑完整 的 GLS 估计；
2. 若
   逐分量 OLS 同时也是最大似然估计。

关键原因是所有方程拥有完全相同的解释变量矩阵 。

设 为 ， 为 。Kronecker 积为 分块矩阵：

性质：

只要各矩阵维数相容。

vec 算子把矩阵的各列依次堆叠成一个列向量。若

则

常用恒等式为

原模型为

定义

则

维数为：

误差协方差为

GLS 估计为

利用 Kronecker 积：

所以

此外，

相乘得到

这正是把每个响应列分别对同一个 做 OLS。

本节进入最大似然估计和模型选择。

假设

其中

似然为

忽略常数后，

对任意非奇异 ，GLS 准则都由逐分量 OLS 的 最小化。

把 代入集中似然：

定义

则

是 的最大似然估计。它与第 17 页的无偏估计不同：MLE 分母为 ，无偏估计分母扣除回归参数数量。

参考：Anderson 与 Olkin（1979）。

拟合

的所有 VAR，令 为高斯创新协方差的 MLE。

选择使以下准则最小的 。

AIC

BIC

Hannan–Quinn

若计入截距等参数，惩罚项应相应调整。

原幻灯片在 前印有负号；对以最小化为准的标准 VAR 信息准则，应使用正号，否则拟合变差、残差行列式增大反而会降低准则。

本节进入最小二乘估计的渐近分布。

对协方差平稳 VAR，向量化回归为

它来自

其中 为 ， 为 。

若底层创新 ：

• 在时间上独立；
• 具有有限且一致有界的四阶矩；

则可以建立 OLS 的联合渐近正态性。

假设概率极限

存在且非奇异。则

大样本中可估计：

渐近意义下，OLS 与假设高斯创新的 MLE 具有相同分布和效率。