正则化定价与风险模型
他在莫斯科物理技术学院取得应用物理与数学博士和硕士学位。
本讲评论仅代表讲者本人，不一定代表摩根士丹利或其关联机构的观点，也不是摩根士丹利研究部门的产品。
债券；
互换；
收益率曲线；
正则化收益率曲线模型；
正则化波动率曲面。
债券是一种债务证券；
借款人通过发行债券筹集资金；
投资者购买债券以获得回报；
典型债券定期支付固定票息，并在到期日偿还面值；
零息债券不支付票息，只在到期时支付面值；
永续债券无限期定期支付票息，但永不偿还面值，因为没有到期日。
固定利率债券
定期支付票息，并在到期日支付本金。
零息债券
到期时只支付面值。
未来现金流的简单总和不等于债券现价，因为未来收到的现金价值较低，这就是货币时间价值。为把未来现金流转换为现值，需要使用折现因子。
债券的当前公允价格应等于全部未来现金流现值之和：
其中：
：债券公允价格； ：债券面值； ：第 个支付日的折现因子； ：每期票息率； ：票息期数。
为计算价格，需要建立折现因子
用单一参数
在连续复利下，
其中：
：到期收益率； ：第 笔付款距今的年数； ：第 笔现金流，最后一期含本金。
该方法假设所有现金流日期使用同一个恒定
债券价格对收益率的对数敏感度为
右侧是负的现金流现值加权平均期限。市场通常把正的修正久期定义为
因此：
- 久期可理解为“加权时间”；
- 零息债券久期等于到期期限；
- 普通付息债券久期小于到期期限；
- 因为所有付款日期使用同一个
，该久期衡量收益率曲线平行移动的敏感度。
原幻灯片把
称为久期，因此得到负值；译文同时给出市场更常用的正久期约定。
凸性衡量债券价格对收益率的二阶敏感度。归一化凸性可定义为
对连续复利模型，
- 小幅收益率变化时，久期是一阶近似；
- 收益率变化较大时，需要二阶导数；
- 对具有正现金流的普通债券，凸性为正。
价格变化的二阶近似为
设固定腿与浮动腿付款频率相同。
固定腿现值为
浮动腿现值为
其中
平价互换满足
所以互换固定利率为
其中：
：互换利率，即固定腿票息； ：第 个付款日折现因子； ：计息年化比例； ：未来浮动付款对应的远期利率。
互换利率是远期利率的加权平均，互换风险可使用债券组合进行对冲。
- 选择输入金融工具；
- 选择插值方法：
- 插值空间，如日度远期利率、零息利率；
- 样条形式，如分段常数、线性、张力样条；
- 节点位置和模型参数；
- 校准模型：求解样条参数，使所有输入工具在模型下重新定价为平价或市场价格。
原图展示 3 个月远期利率随未来期限变化的曲线。不同期限处的斜率和弯曲反映市场对未来短期利率路径的定价。
已有收益率曲线后，可使用各现金流日期对应的折现因子
为使模型价格匹配债券市场价格，引入债券利差
其中：
：由收益率曲线计算的第 个付款日折现因子； ：债券利差； ：付款距今的年数； ：第 笔现金流。
如果有收益率曲线典型变动的模型，就能构建比“单一平行移动久期”更有效的债券风险模型。
原图展示：把 9 年期互换报价上调 1 bp 后，整条 3 个月远期利率曲线如何响应。
由于收益率曲线由多个市场工具共同校准，单个 9 年节点的变化并不只影响一个点，而会通过插值和样条结构传播到邻近期限。响应形状取决于：
- 节点位置；
- 插值空间；
- 样条平滑方式；
- 其他市场工具的校准约束。
各期限桶的原始风险及买卖价差成本如下：
| 工具 | 报价 | 原始风险 | 买卖价差收费（bp） | 收费 |
|---|---|---|---|---|
| IRS 1Y | 0.33 | 0.10 | 20,000 | |
| IRS 2Y | 0.39 | 1,330,000 | 0.10 | 133,000 |
| IRS 3Y | 0.49 | 0.25 | 50,000 | |
| IRS 4Y | 0.64 | 1,200,000 | 0.25 | 300,000 |
| IRS 5Y | 0.86 | 0.10 | 72,245 | |
| IRS 6Y | 1.09 | 0.25 | 8,814 | |
| IRS 7Y | 1.29 | 0.25 | 134,358 | |
| IRS 8Y | 1.48 | 0.25 | 962,500 | |
| IRS 9Y | 1.64 | 1,580,000 | 0.25 | 395,000 |
| IRS 10Y | 1.79 | 288,751 | 0.10 | 28,875 |
| IRS 12Y | 2.04 | 0.25 | 100,338 | |
| IRS 15Y | 2.29 | 50,000 | 0.25 | 12,500 |
| IRS 20Y | 2.50 | 4,000,000 | 0.25 | 1,000,000 |
| IRS 25Y | 2.60 | 0.25 | 250,000 | |
| IRS 30Y | 2.67 | 0.10 | 150,000 | |
| 合计 | 2,266 | 3,617,629 |
风险在不同期限桶中方向相反。逐桶完全对冲会产生约 361.8 万的买卖价差成本，因此需要在风险削减与交易成本之间权衡。
设：
：原投资组合风险向量； ：各对冲工具的风险矩阵； ：对冲工具权重； ：市场情景或风险因子矩阵。
目标是选择
这里
设市场变动数据矩阵为
：主成分方向； ：互不相关的市场动态时间序列； ：各成分的奇异值权重。
只保留最大奇异值对应的少数成分，就得到市场数据的低秩近似。
的特征向量。
原图展示互换利率曲线的主要 PCA 方向。典型前三个成分可解释为：
- 水平因子： 各期限利率大致同向移动；
- 斜率因子： 短端与长端反向移动，改变曲线陡峭度；
- 曲率因子： 中端相对短端和长端移动，改变曲线弯曲程度。
少数成分通常已经解释互换曲线变动的大部分方差。
选取 1Y、2Y、5Y、10Y 和 30Y 流动性互换作为对冲工具，构造风险矩阵
若
也可定义风险变换矩阵，使
：PCA 因子； ：流动性互换对冲组合的风险； ：把原始期限风险转换为对冲权重的矩阵。
原幻灯片由
推导 时漏写负号；译文按代数关系补回。
用 1Y、2Y、5Y、10Y 和 30Y 五个流动性互换近似所有期限桶。原矩阵的关键含义是：
- 被选中的 1Y、2Y、5Y、10Y、30Y 行在自身基准工具列上为 1；
- 其他期限风险由这五个流动节点的组合近似；
- 例如 3Y 风险映射系数约为
- 20Y 风险映射系数约为
汇总后的 PCA 风险与对冲费用为：
| 对冲节点 | 1Y | 2Y | 5Y | 10Y | 30Y |
|---|---|---|---|---|---|
| PCA 风险 | 1,892,770 | 293,261 | |||
| 买卖价差收费 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| 费用 | 42,676 | 189,277 | 153,881 | 26,876 | 29,326 |
总费用约为
与逐期限桶完全对冲的 3,617,629 相比，PCA 低秩对冲大幅降低交易成本，但会保留被舍弃主成分方向上的基差风险。
- 模型在形式上针对历史数据调优；
- 对冲系数不稳定，尤其当历史窗口很短、只反映近期市场状态时；
- 主成分变化会迫使组合频繁再对冲，交易成本高；
- 不稳定性主要来自小奇异值对应的噪声主成分；
- 容易过拟合历史数据；
- 模型没有利用收益率曲线形状方面的先验知识。
风险矩阵
希望每次只移动一个对冲工具：
代入得
所以
问题是：能否不完全依赖历史数据，而基于诸如“远期利率应平滑变动”等合理先验，直接构造风险模型
基本假设：远期利率沿期限方向平滑变动。
仍要求
即风险模式对每个对冲工具产生单位响应。同时最小化不平滑程度：
其中：
：把收益率曲线输入报价变化转换为远期利率变化的 Jacobian； ：度量不平滑性的正则矩阵，例如一阶或二阶差分算子； ：较小的正则化参数。
一种岭型计算结构包含矩阵
更完整的约束最小化解可写为：令
则
其中很小的
原幻灯片只显示了近似逆矩阵结构，省略了满足约束所需的右侧归一化因子；译文补充了标准约束二次优化形式。
用同样的 1Y、2Y、5Y、10Y、30Y 流动性互换节点构造平滑风险模式。代表性映射为：
- 3Y：
- 4Y：
- 8Y：
- 20Y：
原始期限风险合计为 2,266。投影到五个流动性节点后：
| 节点 | 1Y | 2Y | 5Y | 10Y | 30Y |
|---|---|---|---|---|---|
| 正则化风险 | 2,082,997 | 78,962 | 64,483 |
与纯历史 PCA 相比，正则化映射由曲线平滑先验决定，通常对历史窗口噪声更稳健。
原图展示定价系统的反馈关系：
- 市场提供基准工具价格；
- 校准引擎根据市场基准价格求模型参数；
- 定价引擎使用这些模型参数重新计算基准价格；
- 比较模型基准价格和市场基准价格，迭代校准；
- 定价引擎再对交易员投资组合计算价值与风险。
可概括为：
HJM 框架直接描述远期利率
其中：
：在日历时刻 观察、对应未来期限 的远期利率； ：漂移项； ：模型偏度或水平缩放因子； ：相关或因子载荷结构； ：参数化波动率曲面，是本讲关注重点； ：风险中性测度 下的 Brown 运动增量。
在无套利 HJM 模型中，漂移并非任意参数，而由波动率结构决定。
远期利率是二维对象：
- 横轴：日历时间，即今天向未来推进的时刻；
- 纵轴：远期时间或到期期限。
每个点
原图展示
波动率随日历时间的变化；
波动率随远期期限的变化；
相邻区域的平滑过渡；
市场校准工具覆盖区域内的局部形状。
维度极高，可能需要校准约 28,000 个网格元素；
无法存储完整的
矩阵； 校准工具相对很少，通常只有 20—50 个；
问题欠定；
不同校准工具的敏感区域高度重叠；
这是病态逆问题；
直接解不稳定且含大量噪声；
需要正则性约束；
曲面必须平滑，才能给相似工具产生合理、连续的价格。
把波动率曲面写为
其中：
：波动率网格元素组成的向量； ：初始或基准曲面； ：基函数矩阵，每一列对应一个基函数； ：基函数权重向量。
形式化做法令基函数数量
使用定价模型计算校准工具价格对基函数系数扰动的敏感度：
在局部线性近似下，
可把价格变化标准化为对数相对价格。例如：
其中
：Jacobian 矩阵； ：模型、市场和基准价格； ：基函数系数向量。
若基函数选择使
每次迭代：
- 根据当前曲面重新定价；
- 计算模型价格与市场价格差；
- 用 Jacobian 解出系数修正；
- 更新曲面。
平值校准工具的价格通常近似与波动率成比例，因此局部 Newton 型迭代往往很快收敛。
这种方法可以精确匹配所有输入价格，但所得波动率曲面可能：
- 高度振荡；
- 对微小输入变化极敏感；
- 在工具覆盖区域之间产生不合理形状；
- 缺乏经济意义。
因此它是“精确但没有意义”的形式解。
第一步尝试是把分段常数基函数平滑化，使每个校准工具的影响从自身敏感区向邻近区域平滑衰减。
这能改善视觉平滑度，但并没有从根本上消除病态性。
讲义给出敏感性示例：
5 年到期、10 年互换期限的 swaption 输入价格变化 1%，会使波动率曲面调整量变化 4%。
输出对输入误差的放大，说明逆问题条件数很差。报价噪声、买卖价差或数值误差都可能产生较大的曲面变化。
利用病态性的自由度
- 允许输入工具存在一定校准误差；
- 牺牲很少的定价精度，可能换来曲面平滑度的大幅改善；
- 校准工具的流动性和买卖价差不同，可用权重矩阵对重要工具施加更严格容差。
改进基函数
- 必须用基函数降低逆问题维度；
- 应提供多于校准工具数量的候选基函数，因为事先不知道哪些形状最合适；
- 使用二维 B 样条构造局部、平滑的基函数。
原图上半部分展示一条三次样条曲线，下半部分展示构成它的 B 样条基函数。
B 样条的特点：
- 每个基函数只在局部区间内非零；
- 多个局部基函数的加权和形成平滑曲线；
- 调整一个系数主要影响邻近区域；
- 便于控制连续性和光滑阶数。
B 样条可用 Cox–de Boor 公式递归构造。
零次基函数为
高阶递推为
其中分母为零的项按零处理。
原图依次展示 1、2、3 阶基函数：阶数提高时，基函数从分段常数变为更平滑、支持范围更宽的局部函数。
二维 B 样条可由两个一维基函数的张量积构造：
因此波动率曲面可表示为
每个二维基函数只影响曲面中的局部矩形邻域，同时整体保持平滑。
需要同时控制三个目标：
市场价格拟合误差
相对于初始曲面的变化平滑度
最终曲面自身的平滑度
其中：
：校准工具权重的对角矩阵； ：约束曲面变化正则性的矩阵； ：约束最终曲面正则性的矩阵。
实际求解时把这些目标按正则化系数组合成一个加权二次目标。
正则矩阵
将它作用于曲面向量
得到水平或垂直相邻网格点之间的差。最小化
即惩罚过大的局部梯度，促进曲面平滑。
把三个目标合并：
一阶条件给出
其中
- 市场价格拟合；
- 曲面变化的平滑度；
- 参数幅度或最终曲面的正则性。
原图展示加入正则化后的波动率曲面。与第 33 页的形式解相比：
- 曲面明显更平滑；
- 相邻期限和到期维度之间过渡连续；
- 不再为精确追踪每个输入噪声而剧烈振荡；
- 市场工具价格仍在容差内得到良好拟合。
设线性化校准模型为
其中：
：市场输入； ：模型参数； ：输入噪声。
普通最小二乘解为
对前向模型矩阵作 SVD：
于是
求逆过程可理解为：
- 通过
旋转输入； - 沿每个奇异方向乘以
； - 通过
旋转到参数空间。
输入噪声
很小的奇异值
矩阵条件数
可用作病态程度指标。条件数很大意味着输入的微小变化可能引起解的巨大变化。
形式解为
实际目标是用参数
对校准工具本身，模型重新定价为
若
因此
也就是说，模型形式上精确重新定价输入工具，看起来非常准确。然而，实际投资组合使用另一敏感度矩阵
仍可能因参数
Tikhonov 问题为
解为
在 SVD 基下：
其中滤波权重
因此：
- 对模型参数幅度施加惩罚；
- 大奇异值方向
，基本保留； - 小奇异值方向
，受到压制； - 校准工具重新定价矩阵
不再等于，因此不再 100% 精确拟合； - 换来的好处是参数向量和实际投资组合价格更稳定。
TSVD 解为
其中
它把模型矩阵的有效秩截断为
与 PCA 保留主要成分的方法相似；
被截断方向构成模型的近似零空间；
这些参数模式对校准工具价格影响很小；
但如果零空间方向会显著影响实际投资组合价格，简单截断仍可能造成严重模型风险。
提高稳定性；
对病态问题不可或缺；
以牺牲一部分输入数据拟合精度为代价，获得更现实的解；
可能引入偏差；
通过合理选择惩罚约束和正则参数，可尽量减小偏差。
正则化的核心不是消除所有误差，而是在方差与偏差、精确拟合与经济合理性之间取得可控平衡。
原讲义列出以下主题：
- HJM 模型；
- 收益率曲线；
- 逆问题；
- Tikhonov 正则化；
- 奇异值分解；
- 主成分分析；
- B 样条。
这些主题可分别在相关数学金融、数值分析和线性代数教材中进一步学习。
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