06-Black-Scholes模型

第 6 讲

股票价格记为 ，服从随机微分方程

债券价格记为 ，服从

这里，股票价格是随机的，债券价格是非随机的；时间是连续的，且

都是常数。

原稿中小写字母 的手写形状近似数字 。结合“ 为常数”和后续贴现公式，本译文统一将该符号记作利率 。

求解 与

对债券方程，

所以

对股票方程，

令

要计算 ，使用伊藤公式。若

且 满足伊藤公式所需的光滑性条件（原稿方括号中的具体文字未写清），则

由于

得到

这里使用伊藤乘法规则

代入 ：

展开平方：

其中

因此

旁注：取对数简化了 的方程，并把它变为线性形式。

积分得

所以

由于

最终得到

一般地，若

则

应用到

得到答案

布莱克–斯科尔斯模型中的贴现价格过程

定义

离散时间中，价格 的贴现形式为

连续时间中则为

当 很小时，

练习

是鞅吗？ 是鞅吗？

首先，

所以它是常数过程。图中 是位于高度 的水平直线，并且

因此 是鞅。

笔记提出判别直觉：若

即漂移项为零，则 是鞅。

现在令

因为

伊藤公式给出

若

则在原概率测度下 不是鞅。

不同的概率测度

先看一个有限样本空间的例子。随机变量 ，
。每个格子同时写出原测度 和新测度
的联合概率：

在 下，

因此

但是 与 不同分布，因为

所以它们不具有相同分布。并且

现在引入新概率测度 。从表中可见：

1. 在 下， 与 具有相同分布；

2. 在 下，

3. 例如，事件 在两个测度下的概率相同：

   $$
   P(X=0,X^*=0)

   P^(X=0,X^=0).
   $$

特别地，

而且同一个随机变量在不同测度下的方差可以不同：

吉尔萨诺夫定理

若 在 下是维纳过程，并令

则存在概率测度 ，使得 在 下是维纳过程。

例

设 在 下是维纳过程，并令

那么 在 下是维纳过程。比较以下各量：

以及

在 下，

因为

在 下，由

可得

旁边的正态曲线图标出 与 ：中间面积约为 ，右尾面积约为 。

期望分别为

第 6 次研讨课

设 在 下是维纳过程，定义

在适当的新概率测度 下， 是维纳过程。对

使用伊藤公式，

因为

对贴现股票价格

上一页已经得到

因此

所以：

• 若使用原概率测度 ， 不是鞅；
• 若使用新概率测度 ， 是鞅。

而贴现债券价格

从 或 的视角看都是同一个常数。

欧式资产／欧式索赔

定义。 欧式资产具有以下特征：

1. 到期时刻 固定；

2. 收益在 时刻支付；

3. 收益可以由股票价格在

   上的价格历史决定。

图中用从 到 的时间轴表示固定的到期日。

例

一种路径相关收益为

另一个最简单的例子是

还可以定义

定理：复制

在布莱克–斯科尔斯模型中，可以用由股票和债券组成的某个投资组合复制每一个欧式索赔。

对

而言，复制策略很简单：在 以 买入一股股票并一直持有，到 时其价值就是 。页底时间轴正表示这一策略。

先看线性收益

在 时持有两股股票，再持有 份债券。要使债券部分在到期时等于 ，需满足

由于

所以

相应初始价格为

图中 的箭头分别指向“两股股票乘以股票价格”和“债券份数乘以债券价格”。右侧也写成

一般投资组合

令 表示投资组合，也就是索赔在时刻 的价格。若 是股票持有数量， 是债券持有数量，则自融资条件写为

即

定义贴现投资组合价格

于是

又因为投资组合当前价值为

代入

后得到

利用

可写为

因此：

此外，

例：数字型收益

设

求 。

由于贴现价格过程

在 下是鞅，

因此

在风险中性测度下，

于是

由于

若以 表示标准正态分布函数，则

这里使用了标准正态分布关于 的对称性，把右尾概率改写为左尾概率。

一般定价公式为

第 6 讲复习：第 69 页第 6 题

给定收益

求

把

代入，可得

确定性的项相消后，

并且

计算方差：

这里使用了

因此

从而

第 66 页第 6 题

在布莱克–斯科尔斯模型中：

• 表示风险中性概率；
• 表示真实概率。

问题：

1. 分别计算

2. 若

   求 。

在真实概率 下，

其中 是标准正态分布函数。

在风险中性测度下，只需把漂移 换成 ：

对于第二问，

利用

可得

页底还记录了期望的线性性质

以及

詹森不等式的图形解释

对于凸函数 ，

第一幅图画出指数曲线以及连接两个曲线上点的弦。若随机变量只在这两个横坐标处取值，则质量中心位于弦上，坐标为

而曲线上具有同一横坐标的点是

由于弦位于凸曲线上方，前一个点更高，从而得到上述不等式。

第二幅图把多个离散质量点画在横轴上；它们变换后的质量中心仍为

并位于

的上方。

对于凹函数 ，不等式方向相反：

第 65 页第 5 题

设

求所有函数 ，使得

是鞅。

若把

写成漂移和扩散两部分，则鞅要求

对 使用伊藤公式：

这里时间导数项为零。代入 ：

利用

得到

漂移为零要求

令

则

即

所以

积分得

因此全部解为

对任意实数 ，这个过程都是鞅。

本页为空白方格纸，没有手写文字、公式、代码或图示。