本讲主题：商品建模。
2009 年 3 月 11 日，Dow Jones 报道称，国际商品贸易公司 Trafigura Beheer B.V. 的一位高管表示：受较低油价和期货升水市场影响，公司 2009 财年可能取得有史以来最佳业绩。
这一案例说明，低现货价格并不一定意味着商品交易商利润下降；当远期曲线呈明显升水结构且具备仓储能力时，库存套利可能非常有利。
图表展示 2009 年 1 月 15 日的 WTI 原油期货合约价格曲线（数据来源：Bloomberg）。曲线随到期日延长而显著上升，呈现期货升水（contango）结构。
假设：
2009 年 1 月 15 日执行：
- 借入 35 美元；
- 买入并储存 1 桶原油；
- 做空 2010 年 2 月、数量为 1 桶的期货合约。
到期锁定的毛利润为
若
需要：
- 仓储这一实物资产；
- 做多 2009 年 2 月合约；
- 做空 2010 年 2 月合约。
后两项合起来就是做多“近月—远月”日历价差。
假设 1 月 1 日希望租用 8 月至 12 月的仓储空间，市场期货价格为
问题：在 1 月 1 日，愿意为这段仓储租约支付多少？
1 月 1 日买入 8 月/12 月价差：
- 做多 8 月期货；
- 做空 12 月期货。
8 月 1 日以 55 美元/桶买入并储存 1 桶原油；12 月以 58 美元/桶卖出，因此锁定
忽略利息及其他费用时，仓储租金最高可付 3 美元/桶。
量化分析师会在 1 月 1 日卖出一份 8 月/12 月日历价差期权，其 7 月 31 日行权收益为
讲义为简化暂时忽略利率，但实际定价不应忽略折现。
以 Black 型公式近似价差期权：
示例结果为
期权价值高于当前 3 美元的价差，因为价差只是期权的内在价值，而期权还含有时间价值。
仓储报价可提高到约 4.46 美元/桶，从而提高赢得租约的可能性。
若 7 月 31 日
价差期权负债为 15 美元/桶。由于已经拥有仓储，可同时按 65 美元买入 8 月原油并按 80 美元卖出 12 月原油，锁定 15 美元/桶，用以支付期权持有人。实物仓储正是该价差期权的对冲资产。
实际业务中会卖出一个价差期权组合，并必须满足多种实物约束：
- 注入速率；
- 提取速率；
- 库存不得超过最大容量；
- 空罐不能继续提取；
- 其他设备、合同和操作限制。
讲义将仓储价值写成以下优化问题：
其中
引入布尔变量：
这些变量把期权到期后的实际注入或提取动作纳入容量约束。
在每个时点
其中
从初始库存
这确保储罐既不溢出，也不会在库存不足时继续提取。
可采用：
- 近似算法；
- 蒙特卡洛模拟；
- 随机控制。
参考：Rene Carmona 与 Michael Ludkovski（2010），《能源仓储估值：最优切换方法》，Quantitative Finance, 10(4), 359–374。
现实中通常没有可直接交易的价差期权市场，因此不能简单卖出期权完成交易。需要设计复制或动态对冲策略来合成价差期权空头，思想类似 Black–Scholes 的 Delta 对冲。
商用发电厂只应在电价高于燃料成本与可变运营成本时运行。净利润为
因此，经营商用发电厂在金融上相当于持有一组以电价与燃料价格之差为标的的每日火花价差期权。
能源价格的行为不同于许多传统金融资产。图表以实际价格数据说明其收益分布具有明显的肥尾，极端价格变动出现得比正态分布预测更频繁。
图表继续比较能源价格经验分布与较薄尾部的基准分布，显示尾部概率显著偏高。因此，单纯依靠高斯模型往往低估能源市场的极端风险。
Werner（2003）的数据：
| 市场/时段 | 年化波动率 | 偏度 | 峰度 |
|---|---|---|---|
| Nord Pool | 182% | 1.468 | 26.34 |
| Nord Pool 下午 6 点 | 238% | 2.079 | 76.82 |
| DAX | 23% | 0.004 | 3.33 |
电力价格不仅波动率远高于股票指数，而且具有显著正偏与超高峰度。
两幅图展示 1998—2004 年 ERCOT 市场价格和波动率：
- 价格具有尖峰；
- 波动率很高且随时间变化；
- 极端事件呈簇集现象。
数据来源：Eydeland 与 Wolyniec。
NEPOOL 的价格和波动率图同样显示：
- 大量低至中等价格观测；
- 少数极高尖峰；
- 波动率持续变化。
这一结构难以由常方差、连续扩散过程充分刻画。
PJM 价格序列也呈现最高约 500 美元/MWh 的尖峰；波动率指标最高约为 14。不同电力市场虽有区域差异，但都表现出明显非高斯特征。
电价具有：
- 均值回归；
- 价格尖峰；
- 高峰度；
- 状态切换；
- 数据不足；
- 非平稳性。
模型必须在可估计性与这些经验特征之间取舍。
电价与天然气价格的相关结构也具有独特形态。若模型未能捕捉这种相关性，就可能错误定价火花价差期权、代加工发电合同（tolling contract）和发电厂等资产。
常见模型包括：
几何布朗运动：
对数价格均值回归：
带跳跃的模型：
也可同时加入均值回归与跳跃项。
- 随机便利收益模型；
- 随机波动率模型；
- 状态切换模型；
- 多重跳跃过程模型；
- 各类期限结构模型。
电力不可经济地大规模储存，使传统现货模型面临困难：
- 缺少基于仓储的无套利关系；
- 远期和期权如何一致定价并不直接；
- 对可储存商品仍需引入便利收益；
- 重叠期限数据使校准困难；
- 难以刻画不同远期合约之间的相关结构；
- 难以刻画复杂波动率结构；
- 无跳跃或随机波动率的现货模型会产生不现实的电价分布；
- 难以捕捉复杂的电力—天然气相关结构。
报价栈按发电机组的报价与可供电量构造电力价格形成机制。
示例：
| 发电机 | 报价（美元/MWh） | 累计供给节点（MWh） |
|---|---|---|
| 1 | 20、25、30、35、50 | 50、100、200、400、600 |
| 2 | 18、40、100 | 100、200、500 |
将所有机组报价按价格从低到高排列：
| 报价（美元/MWh） | 18 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 累计供给（MWh） | 100 | 150 | 200 | 300 | 500 | 600 | 800 | 1100 |
给定需求
报价栈模型的三个主要驱动因素是：
- 电力需求；
- 燃料价格；
- 发电机组停机情况。
它们共同决定某一时点可用机组的边际成本和市场出清价格。
两步法：
- 根据燃料成本与停机状态建立发电成本栈；
- 将发电成本栈变换为市场报价栈。
第二步通过市场数据校准，在保持经济结构的同时匹配价格分布的高阶矩，包括偏度与峰度。
第一组燃料价格可直接建模，包括天然气、2 号取暖油、不同含硫量的 6 号燃料油、煤、航空燃油、柴油、甲烷及液化天然气等。
第二组能源主要包括核能、水电、太阳能、风能和生物质等。
第一组燃料使用期限结构模型，并校准以匹配远期价格、期权价格和相关结构。
可使用 Poisson 过程等标准随机过程，并结合等效强迫停运率（EFOR）。对每个时点
需求可建模为时间和温度场的函数：
温度过程可分解为：
- 主要温度模态的演化；
- 每日扰动的演化。
这种分解同时反映季节性、区域共同变化和短期天气噪声。
电价由报价栈在需求处的取值给出：
这里燃料价格、机组可用性、排放成本、可变运营维护成本和容量等共同决定发电栈；常数
图表从经济基本面说明报价栈模型：需求曲线与按边际成本排序的供给栈相交，边际机组决定电价。当需求接近系统容量上限时，供给栈陡峭，较小的需求或停机变化即可造成巨大价格跳升。
图表比较 PJM 的实际价格与模型生成价格。模型能够再现价格水平变化、季节性和尖峰，说明基本面报价栈方法比简单连续现货过程更适合描述电力价格的非线性行为。
PJM 电价分布的模型值与经验值：
| 时段 | 模型偏度 | 经验偏度 | 模型峰度 | 经验峰度 |
|---|---|---|---|---|
| 2000 年夏 | 3.58 | 3.17 | 4.77 | 4.89 |
| 2001 年夏 | 18.13 | 14.65 | 25.83 | 26.46 |
| 2000 年冬 | 0.68 | 1.32 | 2.02 | 1.19 |
| 2001 年冬 | 0.18 | 1.54 | 5.48 | 1.98 |
模型总体能反映显著偏斜和肥尾，但部分冬季样本仍存在差异。
图表展示模型模拟得到的电力与燃料价格相关结构。相关性会随时点、合约期限和系统状态变化，并非一个固定相关系数。
实际市场相关结构与上一页的模拟结果进行对比。比较目的在于检验模型是否不仅匹配单变量价格分布，也能匹配跨商品、跨期限的联合动态。
- Alexander Eydeland 与 Krzysztof Wolyniec，Energy and Power Risk Management: New Developments in Modeling, Pricing and Hedging，Wiley，2002。
- Alexander Eydeland 与 Hélyette Geman，〈Fundamentals of Electricity Derivatives〉，收录于 Energy Modelling and the Management of Uncertainty，RISK Books，1999。
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