11-时间序列分析 III

本讲主题：时间序列分析 III。

1. 协整的定义；
2. 协整向量自回归模型：向量误差修正模型（VECM）；
3. 协整 VAR 模型的估计；
4. 线性状态空间模型；
5. 卡尔曼滤波。

若一个 维随机过程 经过 次差分后平稳，则称其为 阶单整过程，记作

假设 服从 VAR()：

即使 的每个分量都是 ，某些分量的线性组合仍可能是 。此时，这些分量之间存在协整关系。

设 ，且每个分量均为 。若存在非零向量 ，使

则称 的分量协整， 为协整向量。

将首个系数归一化后，可把长期均衡关系写成

其中 是对长期均衡的短期偏离，亦称失衡误差。这里以 吸收原式的符号约定。

• 利率期限结构中的预期假说；
• 购买力平价；
• 货币需求函数；
• 抛补利率平价；
• 一价定律；
• 现货与期货价格；
• 同一资产在不同交易场所的价格。

这些变量各自可能呈非平稳走势，但由无套利或经济均衡所约束的价差通常应保持平稳。

本节转入协整 VAR 模型及其向量误差修正表示。

考虑

若特征方程的全部根都在单位圆外，则 平稳。下面假设 ，并将模型改写为以一阶差分和滞后水平项表示的 VECM。

其中

矩阵 描述变量水平之间的长期关系， 则描述短期动态。

在 VECM 中， 及其滞后项均为平稳过程。因此， 也必须平稳，并包含系统的协整关系。

由于 含有单位根， 必为奇异矩阵；其秩决定独立协整关系的数量。

• 若 ，则 ，不存在协整关系；
• 若 $0<\operatorname{rank}(\Pi)=r

其中 的 个列向量是线性无关的协整向量， 给出系统对失衡的调整速度。

该分解并不唯一：对任意可逆 矩阵 ，

仍给出相同的 。

本节讨论协整 VAR 模型的估计和协整秩检验。

Sims、Stock 与 Watson（1990）以及 Park 与 Phillips（1989）表明：对原始协整 VAR 直接使用普通最小二乘法，可获得一致估计；其渐近分布与最大似然估计相同，而且降秩协整约束会在大样本下成立。

Banerjee 与 Hendry（1992）提出了集中似然方法。

Johansen（1991）用降秩回归获得最大似然估计，并用特征根检验协整向量的数量。常用统计量为：

迹检验考察“协整秩不超过 ”的原假设；最大特征根检验比较秩 与 。

译注：原幻灯片将二者简写成 特征值的和与最大值；上式给出标准 Johansen 检验统计量。

本节转入线性状态空间模型。

令：

• ： 观测向量；
• ： 状态向量；
• ： 观测误差；
• ： 状态转移扰动。

状态方程为

其中 为 转移矩阵， 为 选择矩阵，并且

联合写成

若状态扰动与观测误差独立，则联合扰动的协方差矩阵为

许多应用中， 不随时间变化。

令截距与市场贝塔按随机游走变化：

假定 相互独立。

定义

则

因此

考虑

其中 均为 维向量。令每个系数服从随机游走：

取状态 ，则

若所有 ，模型便退化为普通线性回归。随着 依次纳入新观测，状态空间参数的连续估计形成线性时间序列回归的递归更新算法。

其中 。于是

定义

状态转移由首行为 、次对角线为 1 的伴随矩阵给出，新扰动只进入状态向量的第一个分量。

其中 。观测方程无测量误差：

因此

定义状态向量

状态更新把各扰动依次向后移动，并将新扰动放入首位。

其中 的次对角线为 1、其余元素为 0，，且 （下标可随状态时点约定平移）。

观测方程为

于是

令 ，并把超过原阶数的 补为 0，即可把模型嵌入统一的 维状态空间表示。

令

由主模型方程递归定义其余状态。例如

其中

递归地，

依此类推。每个新状态分量汇集更远期的 AR 与 MA 项，而同一创新 按相应 系数进入各状态。

最后一个分量满足

合并所有方程：

其中 ，且无测量误差项。

本节讨论卡尔曼滤波，包括预测、校正、预测未来、平滑以及最大似然估计。

线性状态空间模型可写为

令 。卡尔曼滤波递归计算

模型参数集合记为 。

条件均值：

条件协方差（均方误差）：

观测创新为

给定 ，

预测误差协方差为

观察到 后，滤波更新为

对 ，递归计算

再由 得到观测预测。

译注：本页原讲义的滤波增益和部分预测协方差下标有排版误植，此处按标准卡尔曼滤波公式校正。

平滑利用完整信息集 更新早于 的状态。对 ，

称为卡尔曼平滑矩阵。

令 包含 中的全部未知参数。似然函数可分解为

在高斯假设下，

因此对 维观测，

卡尔曼滤波提供了对任意参数 计算似然函数所需的全部量。可用以下方法最大化对数似然：

• EM 算法（Dempster、Laird 与 Rubin，1977）；
• 牛顿类非线性优化方法。

在常规条件下，最大似然估计 一致，且

其中 Fisher 信息矩阵可写为

在高斯假设下，全部状态变量与观测变量联合服从高斯分布，因此卡尔曼滤波递推完整刻画了模型。

初始状态通常设为

初始均值和协方差可预先指定。具体选择取决于应用：既可采用弥散先验来表达高度不确定的初始信息，也可采用遍历分布来表达状态变量的长期平稳分布。

即便扰动过程只满足协方差平稳而非高斯，条件均值与协方差的递推公式仍然有效，但它们不再完整决定条件分布。