07-Ito积分计算与习题

随机微积分第 7 讲手写讲义

（续前题）a）

原页直接续写关于 的计算：

接着计算二阶矩：

利用正方形积分区域关于对角线的对称性，将它写成 的三角形区域上的两倍积分：

图示：横轴为 ，纵轴为 ，边长均为 ；正方形由直线 分成两个三角形，阴影标出了 的区域及其对称区域。

当 时，在时间轴上先出现 ，后出现 ，并写成

其中 与 独立。因此

又因为

故原稿写为

代入以后：

原稿随后把上式写成

并在下一行再次得到

注：原稿这里的 与下一步的 并不一致；以上保留原稿写法。

第 63 页第 4 题

给定随机微分方程

求 。

提示：

1. 先解简单方程

   即

   所以

2. 使用常数变易法：

由伊藤公式，

将它与

比较：

由于 ，两边的漂移项相消，得到

所以

于是

从而

利用初值：

答案：

第 63 页第 5 题

设 相互独立且同分布，均服从参数为 的指数分布：

定义

要求

原稿先按 和 分解：

因为 对称，

两个条件期望也由对称性相同。因此可转而计算类似

的量。

联合密度为

页末还画出了指数密度 的图像：它从 处的正值开始，随 增大单调下降并趋近于横轴。

先用一个截断指数分布的图示说明条件密度。对于条件 ，原密度 在 右侧被截去，而 内的密度按 重新归一化：

图中黄色曲线表示原密度 ，橙色曲线表示条件密度；在 处画有竖直虚线，条件密度在该点以后为零。

同理，给定 且 时，

其中

所以

于是

用分部积分，取

可得

因此

把较大值 换成 ，得到

第 63 页第 2 题：化简

给定

令

并定义

由伊藤公式，

原稿展开为

两个 项相消，因此

积分以后，

故

第 62 页第 5 题（20 分）

图中画出一条布朗运动轨道，以及从纵轴正截距向下倾斜的直线

两者第一次相交的时间记为 。求

提示：考虑过程

由伊藤公式，

后两个漂移项相消，所以

因此，原稿结论为：“是的，它是一个鞅。”

原稿随后写出 Doob 停时定理：若 是鞅， 是满足相应条件的停时，则

记

由 的定义，

应用停时定理：

即

代入 ：

将上一页最后一式拆开：

所以

令

解二次方程：

于是

从而

原稿在旁边注明取 。两个形式解分别给出：

原稿选择第一个作为答案：

接着由拉普拉斯变换求矩。原稿提醒：

以及

因为

所以

以及

因此

展开根号：

于是

由此

第 62 页第 1 题

考虑

原稿开始用伊藤公式展开 ，其中扩散项写为

其余漂移项在下一页继续整理。

为了使

成为鞅，需要令伊藤展开中的漂移项等于零。

原稿令

并写出

因此漂移为零的条件是

这里

所以

代入后，原稿将含 的两项划去，并得到

于是

最终写为

注：按原稿上一行所列的 、 与 直接合并，系数与这里写出的 存在不一致；此处保留扫描件中的推导和结论。

第 57 页第 4 题

在 Black–Scholes 模型中，给定到期支付

求

原稿旁注：

• 在 下， 是鞅；
• 是概率测度 下的维纳过程；
• ：股票价格；
• ：无风险利率；
• ：波动率。

原稿写出

并另写一行

注：扫描件在上述两行分别使用了 与 作为漂移符号；这里按原稿保留。

继续计算 Black–Scholes 模型中的价格。原稿把两个对数写成

因此

原稿中间还把若干确定性项展开成一个长分式，其中可辨认的各项为

随后改写为更直接的形式：

其中前两个含单个 的期望均为零。最后一项为

旁边以一般例子说明：

第 47 页第 1 题

设 与 是两个相互独立的维纳过程。定义

检查 与 是否是维纳过程。

原稿列出维纳过程的四项条件：

1. ；
2. ；
3. 增量相互独立；
4. 轨道连续。

检查表中：

• 满足第 1、3、4 项，但第 2 项未打勾；
• 四项全部满足。

对于 $a

图中的箭头注明：

• 同一维纳过程在不相交区间上的增量由假设相互独立；
• 与 之间的增量也因两个过程相互独立而独立。

两个过程的均值均为零：

但方差分别为

对于 ，

两个独立正态增量的方差相加：

因此原稿结论为：

第 47 页第 3 题

随机游走的单步增量 的分布为

并且

定义停时

问题：

1. 是否可以成为鞅？
2. 求 。

对于第一问，需要

因为

所以

在给定 时已知，而 与过去独立，因此条件化简为

代入增量分布：

两边乘以 ：

即

一个根为

由根的乘积

得到另一个根

因此

是始终等于 的鞅；而

也是鞅，它会随 的变化而上升或下降。

第 47 页第 3 题 b）

令

对鞅

应用 Doob 停时定理：

因为

停下时， 只能为 或 ，故

解得

第 47 页第 2 题

定义

随机积分的期望为

利用伊藤等距：

展开四次方：

原稿把两个奇次项圈出，并注明：三次项以及一次项都关于 对称，因此期望为零。

又因为

所以

最终