14-因子模型

本讲主题：因子模型。

1. 线性因子模型；
2. 宏观经济因子模型；
3. 基本面因子模型；
4. 统计因子模型：因子分析；
5. 主成分分析；
6. 统计因子模型：主因子法。

设有 项资产和 个时期，时期 的观测向量为

观测可以是股票、期货、外汇收益，或一组美国国债的收益率。对资产 ，

为截距， 为共同因子， 为因子载荷， 为资产特有因子。

对每个时期 ，

其中 为 载荷矩阵。假设

且特有因子是白噪声，共同因子与特有因子之间的交叉协方差为 0。

模型参数包括：

• 截距 ；
• 载荷矩阵 ；
• 因子均值 ；
• 因子协方差 ；
• 特有方差矩阵 。

条件矩为

无条件矩为

对每项资产 ，将 个时期堆叠：

全部资产合并为多元回归：

其中这里的 是前述横截面载荷矩阵 的转置。

本节讨论宏观经济因子模型。

Sharpe（1970）的单指数模型为

其中 为市场指数超额收益， 为资产 的超额收益。

资产收益的无条件协方差矩阵为

其中

对每项资产作时间序列最小二乘回归：

在 Gauss–Markov 条件下，OLS 是最佳线性无偏估计；在高斯假设下也是最大似然估计。

于是

共同因子可取：

• 市场风险；
• CPI、PPI、商品价格和通胀；
• 工业生产或 GDP；
• 货币增长；
• 利率；
• 新屋开工；
• 失业率。

参见 Chen、Roll 与 Ross（1986），〈Economic Forces and the Stock Market〉。

模型仍为

且

逐资产 OLS：

特有方差的无偏估计为

因子协方差估计为

最终

译注：原页最后一式多印了一个 ，此处按一般多因子模型校正。

本节讨论基本面因子模型。

共同因子依据资产基本面属性构造，例如：

• 行业归属；
• 公司规模（市值）；
• 股息率；
• 成长/价值风格，如市净率、盈利收益率等。

BARRA 方法把可观测的资产属性当作因子载荷，而因子实现值 不可观测，需要从横截面数据估计。

每个时期 ：

1. 按某项资产属性对资产进行横截面排序；
2. 将资产分成五个等权组合；
3. 做多最高五分位、做空最低五分位，形成对冲组合；
4. 该对冲组合在时期 的收益即为相应共同因子的实现值；
5. 再逐资产作时间序列回归，估计因子载荷。

假设 项资产分属 个行业。定义虚拟变量载荷

模型为

假设特有误差与行业因子不相关，行业因子的协方差矩阵为 。

每个时期作横截面回归：

因为 是行业虚拟变量矩阵，

其中 为行业 的资产数。因此

即各行业资产收益的横截面平均值，且

特有方差矩阵为

资产协方差估计应为

译注：原页将 与 的次序印反，此处按维度一致的标准形式校正。

• 中存在异方差时，OLS 估计效率较低；
• 可在横截面回归中估计 ，并采用广义最小二乘法（GLS）；
• 因子实现值可重新缩放为因子模拟组合；
• BARRA 行业模型也可写成似不相关回归（SUR）模型。

本节进入统计因子模型与因子分析。

共同因子 是潜变量，其结构从观测收益 中推断。主要提取方法：

• 因子分析；
• 主成分分析。

令

则样本协方差矩阵为

模型

对因子坐标的可逆线性变换不变。对任意可逆 矩阵 ，令

则

同时

因此未经额外规范化时，因子的方向和尺度并不唯一。

通常把因子规范为

若

可选择适当的白化变换 将因子协方差化为单位阵；因子均值可吸收到新截距

中。标准形式下

假设

似然为

对数似然为

在约束

下最大化 ，即可估计 。通常使用 EM 算法数值求解。

译注：原页常数项误写为 ，此处按 维观测修正。

用 EM 算法得到 后，对每个时期的模型

使用 GLS：

正交因子还可通过坐标旋转获得不同、但统计上等价的解释。

估计的因子实现值可缩放为因子模拟组合。因子数 可用似然比检验：

其中原假设为 个因子足以描述 ，而 是无因子结构约束模型的最大似然估计。

本节讨论主成分分析（PCA）。

设 维随机向量 满足

令

为 的特征值， 为对应的标准正交特征向量：

第 个主成分为

因此

主成分彼此不相关，并为 提供一个正交坐标基。

将 ，其中 对应最大的 个特征值，并相应分割 ，则

可取

但此时

一般不是对角矩阵，因此与标准因子分析模型略有不同。

给定

计算：

作特征分解

样本主成分矩阵为

对中心化矩阵作奇异值分解：

其中 的列正交， 的列（按相应约定）正交，且

则

译注：原页对 维度及正交关系有排版误植，此处按薄 SVD 的维度约定表述。

第一主成分 的权重解决

解为最大特征值对应的特征向量 。

第二主成分解决

解为 。依此类推，全部权重向量组成

从 到 的变换先把原点移到均值 ，再旋转坐标轴使其与主成分方向对齐。由于旋转正交，空间距离保持不变。

本节讨论因子分析的主因子估计法。

对 ，

并假设

目标是在给定 时拟合 因子模型。

第一步，对 做 PCA，得到

第二步，设初值

第三步，从样本协方差中扣除当前特有方差：

对其作特征分解，并用最大的 个特征值与特征向量重新计算

不断重复，生成

直到相邻两次的 变化足够小，最后一次迭代即为估计结果。